今週の問題　問３答え｜数学の偏差値を上げて合格を目指す

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上野竜生です。問３の答えを発表します。

問３

$ \sqrt{n^2+2017n} $の小数部分を$a_n$とする。$\displaystyle \lim_{n\to \infty} a_n$を求めなさい。

答え

$ n>1008^2 $のとき
$ n+1008<\sqrt{n^2+2017n}<n+1009 $

両辺2乗すると$ n^2+2016n+1008^2 < n^2+2017n < n^2+2018n+1009^2 $
各辺から$ n^2+2017n$をひくと$ -n+1008^2<0<n+1009^2$が成立します。
むしろここから$n>1008^2$という範囲を後で求めています。

よって$ \sqrt{n^2+2017n}$の整数部分は$n+1008$

$ a_n = \sqrt{n^2+2017n}-(n+1008) \hspace{ 20pt } (n>1008^2)$

$ \displaystyle \lim_{n\to \infty} a_n
\\\displaystyle = \lim_{n \to \infty}\sqrt{n^2+2017n}-(n+1008)
\\\displaystyle =\lim_{n \to \infty} \frac{(n^2+2017n)-(n+1008)^2}{\sqrt{n^2+2017n}+(n+1008)}
\\\displaystyle = \lim_{n \to \infty} \frac{n-1008^2}{\sqrt{n^2+2017n}+(n+1008)}
\\\displaystyle =\lim_{n\to \infty} \frac{1-\frac{1008^2}{n}}{\sqrt{1+\frac{2017}{n} }+1+\frac{1008}{n}}
\\\displaystyle =\frac{1}{2} $

よって答えは$\displaystyle \frac{1}{2}\hspace{ 10pt } (0.5)$

正解者

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