今週の問題　問３答え｜数学の偏差値を上げて合格を目指す

上野竜生です。問３の答えを発表します。

問３

$\sqrt{n^2+2017n}$ の小数部分を

$a_n$ とする。

$\displaystyle \lim_{n\to \infty} a_n$ を求めなさい。

答え

$n>1008^2$ のとき
$n+1008<\sqrt{n^2+2017n}<n+1009$

両辺2乗すると

$n^2+2016n+1008^2 < n^2+2017n < n^2+2018n+1009^2$
各辺から

$n^2+2017n$ をひくと

$-n+1008^2<0<n+1009^2$ が成立します。
むしろここから

$n>1008^2$ という範囲を後で求めています。

よって $\sqrt{n^2+2017n}$ の整数部分は $n+1008$

$a_n = \sqrt{n^2+2017n}-(n+1008) \hspace{ 20pt } (n>1008^2)$

$\displaystyle \lim_{n\to \infty} a_n \\\displaystyle = \lim_{n \to \infty}\sqrt{n^2+2017n}-(n+1008) \\\displaystyle =\lim_{n \to \infty} \frac{(n^2+2017n)-(n+1008)^2}{\sqrt{n^2+2017n}+(n+1008)} \\\displaystyle = \lim_{n \to \infty} \frac{n-1008^2}{\sqrt{n^2+2017n}+(n+1008)} \\\displaystyle =\lim_{n\to \infty} \frac{1-\frac{1008^2}{n}}{\sqrt{1+\frac{2017}{n} }+1+\frac{1008}{n}} \\\displaystyle =\frac{1}{2}$

よって答えは $\displaystyle \frac{1}{2}\hspace{ 10pt } (0.5)$

正解者

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