上野竜生です。問21の答えを発表します。
問21 ★
f(x)=x7-14x2+2018とする。f(x)=0のすべての解(複素数解も含む)は絶対値が2.8より大きく3より小さいことを証明せよ。ただしf(-2.8)>0は証明なしで用いて良い。
答え
f(-3)=-295<0 , f(-2.8)>0より中間値の定理から-3<x<-2.8に1つ実数解が存在する。
また問20 アよりf(x)=0の実数解は1個だけなので実数解はすべて絶対値が2.8より大きく3より小さいことがわかる。
複素数解の絶対値が3より小さいことの証明
x7-14x2+2018=0よりx7=14x2-2018
両辺に絶対値をつけ，三角不等式を用いると
|x|7=|14x2-2018|≦14|x|2+2018
r=|x|とおくとr7-14r2-2018≦0を満たす。
よってr<3となり絶対値は3より小さい。
r≧3⇒g(r)>0を示す。
g(3)=43>0
g'(x)=7r6-28r=7r(r5-4)>0よりr≧3で単調増加
よって対偶は真
複素数解の絶対値が2.8より大きいことの証明
実数係数多項式なので\( \alpha\)が解ならば共役複素数\( \bar{\alpha} \)も解である。
f(x)=0の実数解をR,複素数解を\( \alpha, \bar{\alpha} , \beta , \bar{\beta} , \gamma , \bar{\gamma} \)とする。このときαからγの中で絶対値が1番小さいものをαとしても一般性を失わない。
解と係数の関係より\( R \alpha \bar{\alpha} \beta \bar{\beta} \gamma \bar{\gamma} =-2018 \)
絶対値をつけると
\( |R| |\alpha|^2 |\beta|^2 |\gamma|^2 =2018 \)
\( |R|<3 , |\beta|<3 , |\gamma|<3 \)より\(\displaystyle |\alpha|^2 > \frac{2018}{3^5}>8>2.8^2 \)
となるから\( |\alpha|>2.8 \)となる。
よってすべての解は絶対値が2.8より大きく3より小さい。
正解者
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