上野竜生です。問２の答えを発表します。
問２
「５」「２」「３」「４」の4つの数字を並べ替えてできる4ケタの整数は24個ある。これらの2乗の和をBとする。\( \displaystyle \frac{B-A}{1111^2} \)の値を求めなさい。
答え
「１」「２」「３」「４」を並べ替えてできる24個の整数の集合をA'、
「２」「３」「４」「５」を並べ替えてできる24個の整数の集合をB'とする。
A'の要素xに対し、x+1111はB'の要素。
また逆にB'の要素xに対し、x-1111はA'の要素となっている。
\( (x+1111)^2-x^2=2222x+1111^2 \)であることを利用するとB-AはA'の要素xに対し\(2222x+1111^2\)の和を計算すれば良い。
よってA'の要素の和をCとすると求める答えは\( \displaystyle \frac{2222C+24 \cdot 1111^2}{1111^2}=\frac{2}{1111}C+24 \)である。
Cを計算する。
Cの一の位が「１」であるものが6個、「２」「３」「４」も6個ずつなので1の位の和は
\((1+2+3+4)\cdot 6\)
十の位、百の位、千の位も同様にして
\((1+2+3+4)\cdot 6 \cdot 10\)
\((1+2+3+4)\cdot 6 \cdot 100\)
\((1+2+3+4)\cdot 6 \cdot 1000\)
となるから
\(C=(1+2+3+4) \cdot 6 \cdot 1111 =60 \cdot 1111\)
よって求める答えは
\( \displaystyle \frac{2}{1111}C+24 = 120+24=144 \)
A=213208980，B=390951204
C(=「６」「２」「３」「４」にして同様の結果）＝465689790
\( \displaystyle \frac{C-A}{1111^2}=204.5503 \cdots \)
正解者
1名 (takkun さま)
解説を読んで数学がわかった「つもり」になりましたか？数学は読んでいるうちはわかったつもりになりますが演習をこなさないと実力になりません。そのためには問題集で問題を解く練習も必要です。オススメの参考書を厳選しました
<高校数学>上野竜生です。数学のオススメ参考書などをよく聞かれますのでここにまとめておきます。基本的にはたくさん買うよりも…
上野竜生です。大学数学の参考書をまとめてみました。フーリエ解析以外は自分が使ったことある本から選びました。 大…
上野竜生です。当サイトでも少し前まで各ページで学習サイトをオススメしていましたが他にもオススメできるサイトはた…
