今月の問題　問179　答え

上野竜生です。問179の答えを発表します。

問179

答え

(1)
整数部分が同じならば小数部分がなるべく小さいほうが\( a_n \)が小さくなる。
よって\( n=m^2+1 ~ (m=1,2,3,4,5,6,7,8,9)\)の場合のみ調べればよい。
\( n=m^2+1\)のとき，\( \sqrt{m^2+1}\)の整数部分はm,小数部分は\( \sqrt{m^2+1}-m \)だから
\(a_{m^2+1}=m(\sqrt{m^2+1}-m) \)
ここで
\(m(\sqrt{m^2+1}-m) \\ = \displaystyle \frac{m(\sqrt{m^2+1}-m)(\sqrt{m^2+1}+m)}{\sqrt{m^2+1}+m} \\ =\displaystyle \frac{m}{\sqrt{m^2+1}+m} \\ = \displaystyle \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{m^2} }+1} \)
となるからmが大きくなるにつれて\( a_{m^2+1}\)は大きくなる。
よって最小となるのはm=1のとき，つまりn=2のときで\( a_2=\sqrt{2}-1 \)

(2)

\(\sqrt{n}\)の整数部分がsである項が第s群になるように群数列にわける
つまり
第1,2,3項が第1群
第4,5,6,7,8項が第2群
第\( s^2 , s^2+1 , \cdots , (s+1)^2-1\)項が第s群である。
nが平方数のとき\(\sqrt{n} \)は自然数であることに注意する。
第n項は第\(\sqrt{n} \)群の中の第1項であり，\(\sqrt{n} \)の小数部分が0であることから\( a_n=0 \)なので，求めるものは第\(( \sqrt{n} -1) \)群までの和に等しい

\( a_m \)を評価する。(1)と同様に\( n=m^2+k \)とおくと（k=0,1,2,・・・,2mに注意）
\(a_{m^2+k}=m(\sqrt{m^2+k}-m) \\ = \displaystyle \frac{mk}{\sqrt{m^2+k}+m}\\ = \displaystyle \frac{k}{\sqrt{1+\frac{k}{m^2}}+1} \)

なのでm≧2のとき\(\displaystyle 0 \leq \frac{k}{m^2} \leq \frac{2m}{m^2} \leq 1 \)なので
\(\displaystyle \frac{k}{\sqrt{2}+1} \leq a_{m^2+k} \leq \frac{1}{1+1}k \)
つまり
\(\displaystyle (\sqrt{2}-1)k \leq a_{m^2+k} \leq \frac{1}{2}k \)・・・①
が成り立つ。

第m群の和，つまり\( a_{m^2}+a_{m^2+1}+\cdots + a_{m^2+2m} \)を評価する

m=1のとき
\( a_1+a_2+a_3=0+(\sqrt{2}-1)+(\sqrt{3}-1)\\ = \sqrt{2}+\sqrt{3}-2 \)
m≧2のとき①をk=1からk=2mまで足し合わせればよい。（k=0のときnが平方数なので\( a_n=0 \)）
よって第m群の和は
\(\displaystyle \sum_{k=1}^{2m} (\sqrt{2}-1)k \leq a_{m^2}+a_{m^2+1}+\cdots + a_{(m+1)^2-1} \leq \sum_{k=1}^{2m} \frac{1}{2}k \)
よって
\(\displaystyle (\sqrt{2}-1)m(2m+1) \leq \sum_{k=0}^{2m} a_{m^2+k} \leq \frac{1}{2}m(2m+1) \)・・・②
m=1のとき左側の不等式は不成立で，右側の不等式は成立する。

nが平方数のとき，\( S_n \)は第1群から第\(\sqrt{n}-1\)群までの和である。
右側は普通に②の右辺のm=1から\( m=\sqrt{n}-1 \)までの和を計算し，
左側は②の左辺のm=2から\( m=\sqrt{n}-1 \)までの和を計算したあと，\( a_1+a_2+a_3 \)の実際の値を足せばよい。

\(\displaystyle \sum_{m=1}^{\sqrt{n}-1} m(2m+1)=\frac{1}{3}(\sqrt{n}-1)\sqrt{n}(2\sqrt{n}-1)+\frac{1}{2}(\sqrt{n}-1)\sqrt{n} \\ = \displaystyle \frac{1}{6}\sqrt{n}(\sqrt{n}-1)(4\sqrt{n}+1) \)
なので\(\displaystyle \frac{1}{2}\)倍すると右側については題意が成立。
（n=1のときも成立する）

左側は
\(\displaystyle a_1+a_2+a_3+\sum_{m=2}^{\sqrt{n}-1} (\sqrt{2}-1)m(2m+1) \\ = \displaystyle (\sqrt{2}+\sqrt{3}-2)+(\sqrt{2}-1)\frac{1}{6}\sqrt{n}(\sqrt{n}-1)(4\sqrt{n}+1)-(\sqrt{2}-1)\cdot 1 \cdot (2+1) \\ = \displaystyle \frac{\sqrt{2}-1}{6}\sqrt{n}(\sqrt{n}-1)(4\sqrt{n}+1) -2\sqrt{2}+\sqrt{3}+1 \)
となるので題意が成立。（n=1,4のときも成立する）

以上より与えられた不等式は成立する。