上野竜生です。問176の答えを発表します。
問176
袋の中に赤球3個，白球5個の合計8個入っている。この中から無作為に1つ球を取り出し，取り出した球が赤なら操作を終了する。取り出した球が白なら球を袋に戻さずに再び1つ球を取り出す。これを赤球を1つ取り出すまで繰り返す。
(1)球を1個取り出して操作を終了する確率は\( \displaystyle \frac{[ア]}{[イ]}\)である。また，球をちょうど2個取り出して操作を終了する確率は\(\displaystyle \frac{[ウエ]}{[オカ]}\)である。
(2)球をちょうどa個取り出して操作を終了する確率P(a) (1≦a≦6)を求めよう。
赤球を取り出しても操作を終了せず，袋から8個の球を1つずつ取り出し，出た順に左から並べる。このとき，赤球3個，白球5個を1列に並べるやりかたは8C3通りあり，これらの出る確率はすべて同様に確からしい。この中でちょうどa個取り出して操作を終了する並べ方は，
左から(a-1)個目までがすべて白で，かつ，左からa個目が赤である並べ方だから全部で[キ]通りある。よって球をちょうどa個取り出して操作を終了する確率は
\[ P(a)=\frac{[キ]}{{}_{8}C_{3}} \]
である。
[キ]の選択肢
⓪ 1 ① a-1 ② a ③ 8-a ④ 8-aC2 ⑤ 8-aC3
⑥ aC2 ⑦ aC3 ⑧ 3・5Ca-1 ⑨ 3・5Pa-1
(3)操作を終了した時点で袋から取り出した球の数の期待値Mを求めよう。
太郎： a=1,2,3,4,5,6のときにちょうどa個取り出して操作を終了する確率がP(a)になることがわかったからここから計算すればよさそうだね
花子： 普通に足してもいいけど少し計算が面倒ね。何かいい考えはないかな？
太郎： 次のように考えてみるとどうだろう
1から9までの数字の中から4個の数字を選ぶやり方が何通りあるかを，選ばれた4個のうち小さい方から2番目の数字で場合分けして求めよう。
a=1,2,3,4,5,6のとき，小さい方から2番目が(a+1)であるような選び方はそれぞれ[ク]通りあるね。
花子：本当だ。a≧7のときは小さい方から2番目がa+1にはなれないからa=1,2,3,4,5,6のときのクの合計が全体の並べ方ということだね。
[ク]の選択肢
⓪a ① 8-aC2 ② 9-aC2 ③ 9C4 ④ 8C3 ⑤ a・8-aC2 ⑥ a(9-a)
操作を終了した時点で袋から取り出した球の数の期待値Mは
\[ M=\frac{[ケ]}{[コ]}\]
である。
(4)
太郎： 最初に赤球を取り出すまでの袋から取り出す球の個数の期待値Mはわかったね。
花子： じゃあ，最後の赤球を取り出すまで袋から玉を取り出したときに袋から取り出す球の個数の期待値M’はどうだろう？
そのためには球をちょうどa個取り出して赤球が全部取り出される確率P’(a) (3≦a≦8)を考えないとね。
(2)のように赤球を取り出しても操作を終了せず，袋から8個の球を1つずつ取り出し，出た順に今度は右から並べてみよう。
a個の球を取り出した時に操作が終了するのは，右からa番目に最後の赤球があるときである。これを左から見てみると左から(9-a)番目に最初の赤球があるときと同じである。
つまり，P’(a)=P(9-a)
これを用いて期待値の定義にあてはめるとM+M’=[サ]となる。これと(3)で求めたMの値を使うとM’の値も求められる。
(5)袋の中に赤球5個，白球45個の50個がある。袋から球を１つずつ無作為に取り出していき，赤球を5個すべて取り出したところで取り出すのをやめる。袋から取り出す球の個数の期待値は\(\displaystyle \frac{[シス]}{[セ]}\)である。
答え
配点はそれっぽく考えただけなので特に意味はありません
ア/イ 3/8 （2点）
ウエ/オカ 15/56 (3点)
キ ④ (3点)
ク ⑤ (2点)
ケ/コ 9/4 (4点)
サ 9 (2点)
シス/セ 85/2 (4点)
解説
(1) ア/イ ・ ウエ/オカ
1回で操作を終了するのは最初に赤球をとったとき。袋の中の球が8個でそのうち赤球は3個だから\(\displaystyle \frac{3}{8} \)
2回で操作を終了するのは最初が白球でかつ，2個目が赤球のとき。
最初に白球をとる確率は\(\displaystyle \frac{5}{8} \)
このとき袋の球の数は残り7個で，そのうち赤球は3個になっていることに注意すると2回目に赤球をとる確率は\(\displaystyle \frac{3}{7} \)
よって\(\displaystyle \frac{5}{8} \cdot \frac{3}{7}=\frac{15}{56} \)
(2) キ
[図はa=3のとき]
〇〇●？？？？？
最初の(a-1)個はすべて白を並べるしかないので1通り。
a番目は赤で固定されているので1通り。
残りの？？？？？の部分の並べ方を考える。
残りの？の個数は(8-a)個あり，そのうち赤球は残り2個である。よってその並べ方は8-aC2通り
以上より1×1×8-aC2=8-aC2通り
(3) ク
[図はa=3のとき]
| １ ２ ３ | ４ | ５ ６ ７ ８ ９ |
| ⇐ a個 ⇒ | ↑ | ⇐ 8-a個 ⇒ |
小さい方から2番目がa+1(＝4)
9個の数字から4つを選ぶやり方は9C4通りある。・・・(♪)
これを小さい方から2番目がa+1である選び方で場合分けして考える。
a=1,2,3,4,5,6以外では小さい方から2番目がa+1で4個の数字を選ぶことはできないことに注意。
小さいほうから2番目がa+1のとき
小さい方から2番目の選び方は1通り。
1番小さい数字を選ぶやり方はa通り。
大きい方から2個選ぶやり方は残りの8-a個のうち2個を選ぶので8-aC2通り。
よってクは a・8-aC2
ケ/コ
クの議論からa・8-aC2にa=1,2,3,4,5,6をそれぞれ代入した値をすべて足しわせると(♪)より9C4になるから
\( 1 \cdot {}_7C_2 + 2 \cdot {}_6C_2 + 3 \cdot {}_5C_2 + 4 \cdot {}_4C_2 + 5 \cdot {}_3C_2 +6 \cdot {}_2C_2 ={}_9C_4 \)
期待値の定義より期待値Mは
\( M=1P(1)+2P(2)+3P(3)+4P(4)+5P(5)+6P(6) \\ = \displaystyle \frac{ 1 \cdot {}_7C_2 + 2 \cdot {}_6C_2 + 3 \cdot {}_5C_2 + 4 \cdot {}_4C_2 + 5 \cdot {}_3C_2 +6 \cdot {}_2C_2 }{ {}_8C_3 }\\ = \displaystyle \frac{ {}_9C_4 }{ {}_8C_3 } = \frac{126}{56} = \frac{9}{4} \)
(4) サ
M’=3P’(3)+4P’(4)+5P’(5)+6P’(6)+7P’(7)+8P’(8)
=3P(6)+4P(5)+5P(4)+6P(3)+7P(2)+8P(1)
これと
M=1P(1)+2P(2)+3P(3)+4P(4)+5P(5)+6P(6)
を足し合わせると
M+M’=9P(1)+9P(2)+9P(3)+9P(4)+9P(5)+9P(6)
確率の和が1なのでP(1)+P(2)+P(3)+P(4)+P(5)+P(6)=1であることを利用すると
M+M’=9
(5) シス/セ
ここまでの流れを参考にもう1度解きなおす。
（本当はP(a)なども(2)～(4)で使った記号と重複しないようにQ(a)などラベルは変えた方がいいと思いますが，今回はそのまま重複して使います。）
(2)～(4)と同様にすると
\[\displaystyle P(a)=\frac{{}_{50-a}C_4}{{}_{50}C_{5}} \]
\( a\cdot {}_{50-a}C_4 \)にa=1,2,3,4,・・・,46を代入した値の和は\( {}_{51}C_6 \)と等しい
\( \displaystyle M=\frac{{}_{51}C_{6}}{{}_{50}C_{5}} \\ \displaystyle =\frac{51!}{45! \cdot 6!} \cdot \frac{45! \cdot 5!}{50!} \\ =\displaystyle \frac{51}{6}=\frac{17}{2} \)
M+M’=51
\(\displaystyle M’=51-\frac{17}{2}=\frac{85}{2} \)
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