今週の問題　問17　答え

上野竜生です。問17の答えを発表します。

問17

答え

C(101,22)とする。

0≦n≦100, 0≦m≦21に対し

D_n,mが△OABにどれだけ含まれているかと
△CBAにどれだけ含まれているかの組み合わせは下の3通りしかない。

（つまり△OABにも△CBAにも全く含まれないような部分はなくどちらかに含めばもう片方には含まれない）

どのパターンであっても2つの「およその面積」の和は1なので

△OAB+△CBA=101×22=2222

さらに対称性よりD_n,mが△OABに含まれる割合とD_100-n,21-mが△CBAに含まれる割合は等しい。よって△OAB=△CBA=1111・・・（答）

別解　面積１になるマスの数と面積0.5になるマスの数を本当に計算する。

\( f(x)=\frac{22}{101}x \)とおく。

1≦x≦100に対しf(x)は整数ではない。

面積0.5になるマスの数について

n=0,1,2,・・・,100についてD_n,mが△OABに一部だけ含まれる数を考える。

・f(n)の整数部分=f(n+1)の整数部分　のとき1個

・f(n)の整数部分+1＝f(n+1)の整数部分　のとき2個

でこのどちらかである。f(0)=0, f(100)=21.78・・・より

f(n)の整数部分≠f(n+1)の整数部分になるようなnは21個

[0≠1 , 1≠2, 2≠3,・・・,20≠21になるnが1個ずつ]

f(n)の整数部分=f(n+1)の整数部分になるようなnは101-21=80個。

よって面積0.5になるマスの数は2×21+1×80=122個。

面積1になるマスの数について

xを超えない最大の整数を[x]と表すことにするとn=0,1,・・・,100に対しD_n,mが△OABにすべて含まれる数は[f(n)]である。よって次を計算すればよい。

$$ \sum_{n=0}^{100} \left[\frac{22}{101}n\right] = \sum_{n=1}^{100} \left[\frac{22}{101}n\right] $$

\( \displaystyle \sum_{n=1}^{100} \frac{22}{101}n= \frac{1}{2}\cdot \frac{22}{101} \cdot 100 \cdot 101=1100 \)

i≠jのとき22iと22jを101で割った余りは異なる（∵22i-22jが101の倍数ではない）

よってn=1,2,・・・,100に対しf(n)の小数部分は\( \frac{1}{101} , \frac{2}{101} ,\cdots , \frac{100}{101} \)が1つずつある。

f(n)の小数部分の和は

$$ \sum_{n=1}^{100} \frac{1}{101}n = 50 $$

よって　f(n)の整数部分の和＝f(n)の和ーf(n)の小数部分の和　だから

\( \displaystyle \sum_{n=1}^{100} \left[\frac{22}{101}n\right] = 1100-50=1050 \)

面積1になるマスの数は1050個。

以上より「およその面積」は1×1050+0.5×122=1111・・・（答）