今週の問題　問16　答え

上野竜生です。問16の答えを発表します。

問16

答え

f(x)=101x-x²とおく（問題の関数と符号を逆にしています）

すべての整数nに対しf(n)は整数である。

n=0,1,2,3,・・・,100についてD_n,mの面積を求めればよい。

f(x)は0≦x≦50までは単調増加だからn=0,1,2,・・・,49については

n<x<n+1の部分の「およその面積」は

1×f(n)+0.5×(f(n+1)-f(n))=0.5×(f(n)+f(n+1))

n=50について

50<x<51の部分は2550=f(50)=f(51)<f(50.5)=2550.25より

「およその面積」は1×f(50)+0.5×1=0.5×(f(n)+f(n+1))+0.5

n=51,52,・・・,100については単調減少だから

「およその面積」は

1×f(n+1)+0.5×(f(n)-f(n+1))=0.5×(f(n)+f(n+1))

以上より求める値は

\( \displaystyle 0.5+\sum_{n=0}^{100} 0.5\times \left( f(n)+f(n+1) \right) \\
\displaystyle = 0.5+ 0.5 \times(f(0)+f(101))+ \sum_{n=1}^{100} f(n)\\
\displaystyle = 0.5+ \sum_{n=1}^{100} 101n-n^2 \\
=\displaystyle 0.5+ \frac{1}{2}  101\cdot 100 \cdot 101 - \frac{1}{6} 100 \cdot 101 \cdot 201\\
=0.5+ 101\cdot 50 \cdot 101- 101\cdot 50 \cdot 67\\
=0.5+ 5050\cdot 34\\=171700.5 \)

正解者

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