今週の問題　問103　答え

上野竜生です。問103の答えを発表します。

問103

答え

cosx+cosacosx-sinasinx+cosbcosx-sinbsinx
(1+cosa+cosb)cosx-(sina+sinb)sinx=0
これが恒等式だから少なくとも\(x=0,\frac{\pi}{2}\)のときも成立する必要がある。
x=0のとき
1+cosa+cosb=0・・・①
\(x=\frac{\pi}{2}\)のとき
sina+sinb=0・・・②
よって①②が必要。逆に①②のとき係数がすべて0だから恒等的に0となり十分である。
②よりb=a+π,2π-aを①に代入する。
b=a+πのとき①より
1+cosa+cos(a+π)=1=0となり不適。
b=2π-aのとき①より
1+cosa+cos(2π-a)=2cosa+1=0より\(a=\frac{2}{3}\pi\)(∵0≦a≦π)
よって\(a=\frac{2}{3}\pi , b=\frac{4}{3}\pi \)

正解者　1名（こだわりスカーフ さま）