OP=sOA+tOBのときのPの範囲｜数学の偏差値を上げて合格を目指す

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上野竜生です。三角形OABが与えられ$\vec{OP}=s\vec{OA}+t\vec{OB} $となる位置にPを取ったときs,tの動く範囲によってPがどこを動くのか紹介します。

$OP=sOA+tOBのときのPの範囲$

基本形

三角形OABが与えられ$\vec{OP}=s\vec{OA}+t\vec{OB} $となる位置にPを取る。

①　s+t=1　⇔　Pは直線AB上
②　s+t=1 , s≧0, t≧0　⇔　Pは線分AB上
③　s+t≦1 , s≧0, t≧0　⇔　Pは三角形OABの内部（周上も含む）
④　0≦s≦1 , 0≦t≦1　⇔　Pは平行四辺形OACBの内部(周上も含む)。ただしCは$\vec{OC}=\vec{OA}+\vec{OB} $を満たす位置。

$①$ 　　 $②$

$③$ 　　　 $④$

これらの結果は既知とします。証明もやろうと思えばできますがこの「基本形」に帰着させて解けることが多いです。ちなみに①②は1変数消去で簡単に証明できます。

例題１

三角形OABがあり，$\vec{OP}=s\vec{OA}+t\vec{OB} $となる位置にPをとる。s,tが次を満たすときPが動ける範囲を図示せよ。
(1)　2s-t=1
(2)　s+t=1 , $s \geq \frac{1}{2} , t \geq \frac{1}{4} $
(3)　s+t≧0

答え(1)　2s=s' , -t=t'とおくと2s-t=1⇔s'+t'=1
このとき$\vec{OP}=s\vec{OA}+t\vec{OB} $　⇔　$\vec{OP}=\frac{1}{2} s' \vec{OA}-t'\vec{OB}=s'(\frac{1}{2}\vec{OA})+t'(-\vec{OB}) $
よって$ \frac{1}{2}\vec{OA}=\vec{OA'} , -\vec{OB}=\vec{OB'} $となるように点A',B'をとると
$\vec{OP}=s'\vec{OA'}+t'\vec{OB'}　(s'+t'=1)$
となるのでA',B'を通る直線上にある。
【別解】2s-t=1⇔　t=2s-1であるからこれを代入すると
$\vec{OP}=s\vec{OA}+(2s-1)\vec{OB}=-\vec{OB}+ s(\vec{OA}+2\vec{OB} ) $
よって$\vec{OA}+2\vec{OB}=\vec{OC} $とするとB'を通り$\vec{OC} $に平行な直線上にPはある。
$(1)答え$ (2)　tを消去すると
$\vec{OP}=s\vec{OA}+(1-s)\vec{OB}=\vec{OB} + s(\vec{OA}-\vec{OB})=\vec{OB}+s\vec{BA}　(\frac{1}{2} \leq s \leq \frac{3}{4}) $
よって図の太線部分
$(2)答え$ (3)　t≧-sなのでt=-s+k（k≧0）とおく。
$\vec{OP}=s\vec{OA}+(-s+k)\vec{OB}=s(\vec{OA}-\vec{OB})+k\vec{OB}=s\vec{BA}+k\vec{OB} $
sに範囲はないので$\vec{OP}=s\vec{BA} $の範囲はOを通りABに平行な直線。
これに$k \vec{OB}　(k \geq 0)$を加えると直線をB側に平行移動させた部分すべてを取りうる。
よってPの範囲は図の斜線部分。境界を含む。
$(3)答え$

例題２

三角形OABがあり，$\vec{OP}=(s+1)\vec{OA}+(2s+t)\vec{OB} $となる位置にPをとる。s,tが0≦s≦1,0≦t≦1を満たしながら動くときPが動ける範囲を図示せよ。

答え$\vec{OP}=(s+1)\vec{OA}+(2s+t)\vec{OB} \\ = s(\vec{OA}+2\vec{OB}) + t\vec{OB}+\vec{OA} $
だから$\vec{OA}+2\vec{OB}=\vec{OC} $となる点Cをとると
$ s(\vec{OA}+\vec{OB}) + t\vec{OB} =s\vec{OC}+t\vec{OB}　(0 \leq s \leq 1 , 0 \leq t \leq 1) $は$\vec{OC} ,\vec{OB} $で作られる平行四辺形（図の斜線部分）を表す。
$例題２途中$
Pはそれを$\vec{OA} $方向に平行移動させているからPの動ける範囲は下の図の斜線部分。ただし境界を含む。
$例題２答え$