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上野竜生です。重複組み合わせの公式は覚えるものではありません！Hという記号は基本使わないので覚えなくてもいいでしょう。
とはいえ，一応定義は書いておきます。
nHr=n+r-1Cr
n個の中から重複を許してr個選ぶやり方です。
例題１ 果物などを買う場合
りんご，みかん，バナナがたくさんある。この中から合わせて10個買う。
(1) りんご，みかん，バナナの数の決め方は何通りあるか。
(2) どの果物も最低1個は買う。数の決め方は何通りあるか。
(1) りんご，みかん，バナナの数の決め方は何通りあるか。
(2) どの果物も最低1個は買う。数の決め方は何通りあるか。
答え(1) 考え方としては次の通りです。
「○」10個と「│」2個を並べる。
左端から最初の「｜」までをりんご，
最初の「｜」から次の「｜」までをみかん
最後の「｜」から右端までをバナナと考えればよい。
たとえば
○○｜○○○○○｜○○○ と並べた場合
🍎🍎｜🍊🍊🍊🍊🍊｜🍌🍌🍌，つまり
りんご2個，みかん5個,バナナ3個と考える。
このように考えると選び方は「○」10個，「│」2個の並べ方に等しく，12C2=66通り。
(2)先にりんご・みかん・バナナを1個ずつ買ってから残りの7個を決める。
よって「○」7個「│」2個の並べ方に等しく9C2=36通り。
「○」10個と「│」2個を並べる。
左端から最初の「｜」までをりんご，
最初の「｜」から次の「｜」までをみかん
最後の「｜」から右端までをバナナと考えればよい。
たとえば
○○｜○○○○○｜○○○ と並べた場合
🍎🍎｜🍊🍊🍊🍊🍊｜🍌🍌🍌，つまり
りんご2個，みかん5個,バナナ3個と考える。
このように考えると選び方は「○」10個，「│」2個の並べ方に等しく，12C2=66通り。
(2)先にりんご・みかん・バナナを1個ずつ買ってから残りの7個を決める。
よって「○」7個「│」2個の並べ方に等しく9C2=36通り。
ちなみに「○」10個，「│」2個の並べ方の部分ですがこれはまず○を12個かき
その中から2か所を「｜」に置き換えると考えます。12か所の中から２か所を選ぶやり方は12C2で計算できますね。
例題２ 整数の個数の場合
果物に置き換えれば同じことです。
x+y+z=10を満たす整数について
(1)x≧0,y≧0,z≧0を満たす組(x,y,z)は何個あるか。
(2)自然数の組(x,y,z)は何個あるか。※自然数：1以上の整数
(1)x≧0,y≧0,z≧0を満たす組(x,y,z)は何個あるか。
(2)自然数の組(x,y,z)は何個あるか。※自然数：1以上の整数
先ほどのりんご・みかん・バナナに置き換えて考えれば同じですね。
答え(1) ○10個，│2個を並べるやり方と等しく66通り。
（○○｜○○○○○｜○○○ と並べた場合
(x,y,z)=(2,5,3)と考える。）
(2) ○7個，│2個を並べるやり方と同じで36通り。
(○○○○○││○○）と並べた場合
(x',y',z')=(5,0,2)と考え，1以上にするためにすべてに1を加えて(x,y,z)=(6,1,3)と考える。
このように考えればnHrなんて不要です。
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