定積分の微分（やや複雑な場合）

上野竜生です。今回は定積分であらわされた関数の微分を扱います。定積分の中に微分する文字xなどが入っていない場合は明らかに微分すると0ですが積分区間にxが入っている場合を解説します。

例題

一応地道に計算してみましょう。
(1)
$\displaystyle \left[te^t \right]_{-1}^x - \int_{-1}^x e^tdt \\ =xe^x + e^{-1}-[e^t]_{-1}^x\\ =xe^x+e^{-1}-e^x+e^{-1}$
よってxで微分すると
$xe^x+e^x-e^x=xe^x$
(2)
$\displaystyle \left[t\sin{t} \right]_{x^2}^{\sin{x}}-\int_{x^2}^{\sin{x}} \sin{t}dt \\ =\displaystyle \sin{x}\sin{(\sin{x})}-x^2\sin{x^2}+\left[\cos{t} \right]_{x^2}^{\sin{x}}\\ =\sin{x}\sin{(\sin{x})}-x^2\sin{x^2}+\cos{(\sin{x})}-\cos{x^2}$
これをxで微分すると
$\cos{x}\sin{(\sin{x})}+\cos{x}\sin{x}\cos{(\sin{x})}-2x\sin{x^2}-2x^3\cos{x^2}-\cos{x}\sin{(\sin{x})}+2x\sin{x^2}\\ =\cos{x}\sin{x}\cos{(\sin{x})}-2x^3\cos{x^2}$

まとめると次の公式になります。

・$\displaystyle \int_a^b f(t)dt$をxで微分すると0

・$\displaystyle \int_a^x f(t)dt$をxで微分するとf(x)

・$\displaystyle \int_{g_1(x)}^{g_2(x)} f(t)dt$をxで微分すると$f(g_2(x))g_2'(x)-f(g_1(x))g_1'(x)$

今の例題のように合成関数の微分の公式に持ち込めば理解はできると思いますが公式として暗記するよりは上の例題の解き方をマスターして合成関数の微分から導けるようにしましょう。