上野竜生です。倍数・約数の確認と「互いに素」の定義、証明を紹介します。
＜基本＞倍数・約数
自然数NがN=nd（n,dは整数）というように積の形でおけるときNはdの倍数といい、dはNの約数という。
自然数N,MがN=dn , M=dmのようにかけるとき、共通の約数dのことを公約数という。
1以外に正の公約数dをもたないときNとMは互いに素という。
(±1以外に公約数をもたないとき と定義してもよいし，2以上の公約数をもたない でもよい。）
たとえばnが6の倍数と言われればn=6n' (n'は整数)とおくことができます。
互いに素の基本性質
「互いに素」の証明は少し難しいと感じるかもしれません。1以外に公約数をもたないことを直接証明するのは難しいので通常は背理法を使います。また「○○が互いに素ならば△△も互いに素であること」の証明だったら対偶をとることもできますね。直接示すのは難しいという認識を持っておきましょう。
[証明]
nとn+1が2以上の公約数dを持つと仮定すると
n=ad
n+1=bd（a,b,dは整数。d≧2）とかける。
第2式から第1式をひくと
1=(b-a)d
となるからdは1の約数。しかしdは2以上なので矛盾。よってnとn+1は互いに素。
この結果を利用すると
nとn+dの公約数はdの約数以外にはないということがわかります。（dの約数すべてが公約数とは限らない。反例n=5, d=2）
例題１：○と△は互いに素を示す
nが偶数(=2の倍数)なのでn=2kとおけます。まずはそこから整理してみましょう。
n+3=2k+3,
n2+n+2=4k2+2k+2である。2k+3と4k2+2k+2が2以上の公約数dをもつと仮定する。
2k+3=ad ・・・①
4k2+2k+2=bd ・・・②(a,b,dは整数。d≧2)とおける。
②-(①×2k)より
-4k+2=(b-2ak)d・・・③
③+①×2より
8=(b-2ak+2a)d
dは8の約数で2以上だからd=2またはd=4
しかしd=2または4のとき①の左辺は奇数であるが右辺は偶数であるから矛盾。
よって2以上の公約数dはもたず，互いに素である。
例題２：○と△が互いに素ならば◎と▽も互いに素を示す
nとmが互いに素 ⇔ n2とm2が互いに素
示すものは
① nとmが互いに素 ⇒ n2とm2が互いに素
② n2とm2が互いに素 ⇒ nとmが互いに素
ですが、どちらも直接互いに素を示すのは大変（2以上の公約数をもたないことの証明は大変）なので背理法でもいいですが高校生にとって「AならばB」の否定がやや難しい（「AならばB」の否定は「AであるがBではない」です）ので対偶のほうがわかりやすいでしょう。
①②ともに対偶で示します。②のほうが楽です。
答え示すべきものは
ア） nとmが互いに素 ⇒ n2とm2が互いに素
イ） n2とm2が互いに素 ⇒ nとmは互いに素
であるがどちらも対偶で示す。つまり
ア') n2とm2が2以上の公約数dをもつ ⇒ nとmが2以上の公約数をもつ
イ') nとmが2以上の公約数dをもつ ⇒ n2とm2が2以上の公約数をもつ
を示せば良い。 イ')について
n=ad , m=bd （a,b,dは整数。d≧2)とおける。このとき
n2=a2d2 , m2=b2d2なのでn2,m2は公約数d2をもつ。
d≧2なのでd2≧4≧2であり，イ')は成立。
残る部分はア')ですが少し難しいです。最初の置き方にひと工夫したいところです。
n2=sd , m2=td （s,t,dは整数。d≧2)とおける。このときn,mは公約数dをもつ。
と言えればいいのですがそうはいきません。たとえばn2が4の倍数でもnは2の倍数としかいえません。だからといってdが平方数とも限らないので公約数(√d)をもつともいえません。
そこでdをさらに(素因数)分解し，dを素数としてやりましょう。素数ならば先ほどの言いたいことが言えます。この発想は初見ではなかなか難しいので勉強しておきましょう。
n2=sp , m2=tp （s,tは整数。pは素数)とおける。
するとn,mはともにpの倍数となるからnとmは公約数pをもつ。
よってア')は成立。以上より
nとmが互いに素 ⇔ n2とm2が互いに素
が成り立つ。
2以上の整数は素数か合成数（a×bの形にかける数）のどちらかです。
dが最初から素数のときはp=dとすれば↑の答案がそのまま使えます。
dが合成数の時はdを素因数分解すると素数の積の形でかけるので，その中に現れる素数をpとおけば↑の答案が使えます。
つまり互いに素であることを式で表現するとき
公約数dを2以上の整数ではなく、素数とおくことができます。（もちろん「最大」公約数とは限らない）
「ABがpの倍数ならばAがpの倍数またはBがpの倍数」
が成り立ちます。これにA=B=nを代入すると
「n2がpの倍数ならばnはpの倍数」がいえます。
「互いに素」の証明は意外と盲点です。他の受験生と差をつけるためにやっておきましょう。難関大でもたまに出てきます。
解説を読んで数学がわかった「つもり」になりましたか？数学は読んでいるうちはわかったつもりになりますが演習をこなさないと実力になりません。そのためには問題集で問題を解く練習も必要です。オススメの参考書を厳選しました
<高校数学>上野竜生です。数学のオススメ参考書などをよく聞かれますのでここにまとめておきます。基本的にはたくさん買うよりも…
上野竜生です。大学数学の参考書をまとめてみました。フーリエ解析以外は自分が使ったことある本から選びました。 大…
上野竜生です。当サイトでも少し前まで各ページで学習サイトをオススメしていましたが他にもオススメできるサイトはた…
