√(2次関数)が整数となるnの値は？

答え\( \sqrt{n^2-45}=N \)とおく。両辺2乗すると

\( n^2-45=N^2 \)　整理すると

\( n^2-N^2=45 \)

つまり，\( (n+N)(n-N)=45 \)

かけて45になる2つの整数の組を見つけると(n+N,n-N)の組は

(n+N,n-N)=(1,45),(3,15),(5,9),(9,5),(15,3),(45,1),(-1,-45),(-3,-15),(-5,-9),(-9,-5),(-15,-3),(-45,-1)

ルートの中は0以上だからN≧0よりn+N≧n-Nであるから

(n+N,n-N)=(9,5),(15,3),(45,1),(-1,-45),(-3,-15),(-5,-9)

それぞれについて(n,N)を求めると

(n,N)=(7,2),(9,6),(23,22),(-23,22),(-9,6),(-7,2)

よってn=±7,±9,±23

答え\( \sqrt{n^2+20}=N \)とおく。両辺2乗すると

\( n^2+20=N^2 \)　整理すると

\( (n+N)(n-N)=-20 \)　両辺-1倍すると

\( (N+n)(N-n)=20 \)

N≧0,n≧0よりN+n≧0かつN+n≧N-n

この条件で(N+n,N-n)を求めると

(N+n,N-n)=(20,1),(10,2),(5,4)

ここからN,nを求めると

\( (N,n)=(\frac{21}{2},\frac{19}{2}),(6,4),(\frac{9}{2},\frac{1}{2})\)

N,nは整数だから(N,n)=(6,4)のみ。

よってn=4

答え\( \sqrt{n(n+9)}=N\)とおき両辺2乗すると

n(n+9)=N²

平方完成すると

\( (n+\frac{9}{2})^2-\frac{81}{4}=N^2 \)

移項して4倍すると

(2n+9)²-4N²=81

(2n+2N+9)(2n-2N+9)=81

nは自然数，N≧0より

2n+2N+9>0,2n+2N+9≧2n-2N+9に注意すると

(2n+2N+9,2n-2N+9)=(81,1),(27,3),(9,9)

それぞれについて(n,N)を求めると

(n,N)=(16,20),(3,6),(0,0)

nは自然数よりn=3,16

解説を読んで数学がわかった「つもり」になりましたか？数学は読んでいるうちはわかったつもりになりますが演習をこなさないと実力になりません。そのためには問題集で問題を解く練習も必要です。オススメの参考書を厳選しました