Pから双曲線にひいた2つの接線が直交するときの軌跡(双曲線の準円)

上野竜生です。点Pから双曲線には2つの接線が引けますが，その接線が直交するような点の軌跡を求めてみましょう。かなり難しいです。なお楕円の場合はこちらのページを参考にしてください。

問題

方針は接線の傾きをmとおくと接線はy=m(x-X)+Yとおけるのでここからmについての方程式を導き，さらに直交することから傾きの積が-1を使います。

答え

X≠±aのとき

接線はy軸に平行でないので接線の傾きをmとおくと直線の方程式はy=m(x-X)+Yとおける。

これが双曲線の接線なのでxについての2次方程式

\(\displaystyle \frac{x^2}{a^2}-\frac{\{m(x-X)+Y\}^2}{b^2}=1 \)・・・①

の判別式は0になる。①を整理すると

\( b^2 x^2-a^2\{mx+(Y-mX)\}^2-a^2 b^2=0\)

\( (b^2-a^2m^2)x^2- 2a^2 m(Y-mX)x - a^2(Y-mX)^2 - a^2 b^2=0 \)・・・②

\(b^2-a^2m^2=0\)のとき②はxの2次式にならず，接線にはならない。

\(b^2-a^2m^2\neq 0\)のとき②の判別式をDとおくと

\( \displaystyle \frac{D}{4}= \{a^2 m(Y-mX)\}^2 - (b^2 - a^2 m^2)\{-a^2(Y-mX)^2 - a^2 b^2 \}=0\)

ゆえに

\(\displaystyle a^4 m^2 (Y-mX)^2 - a^4 m^2 (Y-mX)^2 + a^2 b^2 (Y-mX)^2 +a^2 b^2 (b^2-a^2 m^2)\\
=a^2 b^2 (Y-mX)^2+ a^2 b^2 (b^2-a^2 m^2)\)

a,b≠0なので\( (Y-mX)^2-a^2 m^2+b^2=0\)

\( (X^2-a^2)m^2 -2XYm + (Y^2+b^2)=0 \)・・・③

mについての2次方程式を解いたときの2解が2本の接線の傾きであるから③の解をm=m₁,m₂とおくと直交する条件はb²-a²m²≠0かつm₁m₂=-1

解と係数の関係より

\(\displaystyle m_1 m_2=\frac{Y^2+b^2}{X^2-a^2}=-1\)

整理すると\( X^2+Y^2=a^2-b^2 \)・・・④

ここからb²-a²m²=0となるものを除く。

b²-a²m²=0つまり\( m=\pm \frac{b}{a} \)を③に代入すると

\(\displaystyle (X^2-a^2)\frac{b^2}{a^2} \mp 2XY\frac{b}{a} +Y^2+b^2=0 \)

両辺をa²倍すると

\(b^2X^2-a^2b^2 \mp 2abXY +a^2Y^2+a^2b^2=0\)

(bX±aY)²=0　∴bX±aY=0となる点を除く。（これは漸近線上の点である）

X=±aのとき

接線はy軸に平行なので1つの接線は「X=±a」

直交するからもう１つはx軸に平行でなければならないがそのような接線は存在しない。よって不適。

以上より求める軌跡は

a²-b²>0のとき円\( x^2+y^2=a^2-b^2\)　（原点を中心とする半径\( \sqrt{a^2-b^2} \)の円）から漸近線\( y=\pm \frac{b}{a}x \)上の4点を除いたもの。

a²-b²≦0のときそのような点は存在しない。

いかがでしたか。楕円でも難しかったと思いますが双曲線になるとさらに難易度が上がりますね。