係数が対称である方程式の解き方(相反方程式)

<step1>　x=0が解ではないことを確認する。
<step2>　両辺をx²で割る（一般には2乗のところをn/2乗に変える）
<step3>　\( X=x+\frac{1}{x} \)とおき，Xの式で表す。（相反方程式なら必ず可能）
<step4>　Xの方程式を解き，それを使ってxを求める。

答え<step1>　問題文の式にx=0を代入しても式は成立しないのでx≠0
<step2>　両辺をx²で割ると
\( \displaystyle x^2-5x+6-\frac{5}{x}+\frac{1}{x^2}=0 \)
<step3>　\( \displaystyle X=x+\frac{1}{x}\)とおくと
\( \displaystyle X^2=x^2+2+\frac{1}{x^2}　　 ∴x^2+\frac{1}{x^2}=X^2-2\)
よって
\( \displaystyle x^2+\frac{1}{x^2}-5\left(x+\frac{1}{x}\right)+6 \\
=(X^2-2)-5X+6=X^2-5X+4=(X-1)(X-4)=0 \)
<step4>　よってX=1,4
x=1のとき\( \displaystyle x+\frac{1}{x}=1 \)を解けばよい。整理すると
x²-x+1=0なので\(\displaystyle x=\frac{1\pm \sqrt{3}i}{2} \)
x=4のとき\( \displaystyle x+\frac{1}{x}=4 \)を解けばよい。整理すると
x²-4x+1=0なので\( x=2 \pm \sqrt{3} \)
以上より最初の方程式の解は
\( \displaystyle x=\frac{1\pm \sqrt{3}i}{2} , 2\pm \sqrt{3} \)

答え問題文の式にx=-1を代入すると0になるので因数定理より(x+1)でわりきれる。

実際に割り算をすると
(x+1)(x⁴-5x³+6x²-5x+1)=0となる。
4次式の部分は例題１と同じなので答えは
\( \displaystyle x=-1,\frac{1\pm \sqrt{3}i}{2} , 2\pm \sqrt{3}\)

答えx⁵-1=(x-1)(x⁴+x³+x²+x+1)
x⁴+x³+x²+x+1=0・・・(*)を考える。
x=0は(*)の解ではないので両辺をx²で割ると
\( \displaystyle x^2+x+1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}=0 \)
\( \displaystyle X=x+\frac{1}{x} \)とおくと
\( (X^2-2)+X+1=X^2+X-1=0 \)　∴\( \displaystyle X=\frac{-1\pm \sqrt{5}}{2} \)
よって\(\displaystyle x^2- \frac{-1\pm \sqrt{5}}{2}x+1=0 \)を解けばよい。
\(\displaystyle x^2- \frac{-1+\sqrt{5}}{2}x+1=0 \)の解は
\(\displaystyle x=\frac{\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\pm \sqrt{\frac{6-2\sqrt{5}}{4}-4}}{2}=\frac{-1+\sqrt{5} \pm \sqrt{2\sqrt{5}+10}i}{4} \)
\(\displaystyle x^2- \frac{-1-\sqrt{5}}{2}x+1=0 \)の解は
\(\displaystyle x=\frac{\frac{-1-\sqrt{5}}{2}\pm \sqrt{\frac{6+2\sqrt{5}}{4}-4}}{2}=\frac{-1-\sqrt{5} \pm \sqrt{10-2\sqrt{5}}i}{4} \)以上よりまとめると
\(\displaystyle x=1, \frac{-1+\sqrt{5} \pm \sqrt{2\sqrt{5}+10}i}{4} , \frac{-1-\sqrt{5} \pm \sqrt{10-2\sqrt{5}}i}{4}\)

解説を読んで数学がわかった「つもり」になりましたか？数学は読んでいるうちはわかったつもりになりますが演習をこなさないと実力になりません。そのためには問題集で問題を解く練習も必要です。オススメの参考書を厳選しました

<高校数学> <大学数学> さらにオススメの塾、特にオンラインの塾についてまとめてみました。自分一人だけでは自信のない人はこちらも参考にすると成績が上がります。