指数関数×三角関数の不定積分3通りの計算方法

上野竜生です。∫e^axsinbxdxを計算するときどうしてますか？部分積分で解くのが正攻法ですがいろいろな解き方があります。ここでは部分積分も含めて3パターンのやり方で計算してみます。

今回計算する積分

解法１：2回部分積分をする

\( \displaystyle I=\int e^{ax} \sin{bx}dx\\
=\displaystyle \frac{1}{a}e^{ax}\sin{bx} - \int \frac{1}{a}e^{ax}\cdot b\cos{bx} dx\\
=\displaystyle \frac{1}{a} e^{ax}\sin{bx} - \frac{b}{a} \int e^{ax}\cos{bx} dx \\
=\displaystyle \frac{1}{a} e^{ax}\sin{bx} - \frac{b}{a}\left(\frac{1}{a}e^{ax}\cos{bx}-\int \frac{1}{a}e^{ax} \cdot (-b\sin{bx})dx\right)\\
=\displaystyle \frac{1}{a}e^{ax}\sin{bx} -\frac{b}{a^2}e^{ax}\cos{bx}-\frac{b^2}{a^2}I\)

よって\( \displaystyle \left(1+\frac{b^2}{a^2}\right)I=\frac{1}{a}e^{ax}\sin{bx} -\frac{b}{a^2}e^{ax}\cos{bx}\)

\(\displaystyle  I=\frac{a}{a^2+b^2}e^{ax}\sin{bx}-\frac{b}{a^2+b^2}e^{ax}\cos{bx}+C \)

これが初見で解くときの解法になります。

しかし１度解いたことがあれば　○e^axsinbx+△e^axcosbx+Cだったな・・・ぐらいの記憶は残ります。そこでその形と仮定して係数だけ計算する裏技があります。

解法２：ある程度形を思い出して微分で係数調整

\(F(x)=\alpha e^{ax}\sin{bx}+\beta e^{ax}\cos{bx} \)とする。

\( F'(x)=e^{ax}\sin{bx} \)となるように\( \alpha,\beta \)を定めればよい。

\( F'(x)=\\
\alpha a e^{ax}\sin{bx} + \alpha b e^{ax}\cos{bx} + \beta a e^{ax}\cos{bx}- \beta b e^{ax}\sin{bx} \\
=(\alpha a-\beta b)e^{ax}\sin{bx}+(\alpha b+\beta a)e^{ax}\cos{bx} \)

\( \alpha a - \beta b=1 \)かつ\( \alpha b+\beta a=0 \)であればよい。2式を連立させると

\( \displaystyle \alpha=\frac{a}{a^2+b^2} , \beta=-\frac{b}{a^2+b^2} \)

よって\(\displaystyle I=\frac{a}{a^2+b^2} e^{ax}\sin{bx}-\frac{b}{a^2+b^2}e^{ax}\cos{bx}+C \)

連立のところが文字だらけですが実際解くときはある程度aかbに数字が入ってるはずなので普通に解けるはずです。

解法３：複素数で積分

e^axsinbx=e^ax+ibxの虚部であることを使い複素数で積分して虚部を取ります。

\( \displaystyle \int e^{ax+ibx} dx=\frac{1}{a+ib}e^{ax+ibx}+C\\
=\displaystyle \frac{a-bi}{a^2+b^2}e^{ax}(\cos{bx}+i\sin{bx})+C \)

虚部を取ると\( \displaystyle I=\frac{a}{a^2+b^2} e^{ax}\sin{bx}-\frac{b}{a^2+b^2}e^{ax}\cos{bx}+C\)

え？こんなのでいいの？って思うかもしれませんが結果は一致します。複素数ってうまく定義できていますね。