上野竜生です。大学受験で出てきそうなΣ計算をまとめてみました。
Σ計算の発想
実際に左辺を展開すると
f(2)-f(1)+f(3)-f(2)+f(4)-f(3)+・・・+f(n+1)-f(n)
で太字以外は相殺します。これを使って考えてるものが多いです。
多項式
\( \displaystyle \sum_{k=1}^n 1 = n \)
\( \displaystyle \sum_{k=1}^n k = \frac{1}{2}n(n+1) \)
\( \displaystyle \sum_{k=1}^n k^2 = \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) \)
\( \displaystyle \sum_{k=1}^n k^3 = \left( \frac{1}{2} n(n+1) \right)^2 \)
3乗の結果は1乗の結果全体を2乗しているということに気を付ければ覚えやすいでしょう。
2乗の結果の最後の部分をn+2と間違えないようにすることが重要です。
[4乗の証明]
Σ計算の発想のところに書かれている式に\(f(n)=n^5\)を代入すると
\(\displaystyle \sum_{k=1}^n k^3 ,\sum_{k=1}^n k^2 , \sum_{k=1}^n k ,\sum_{k=1}^n 1 \)はすでにわかっているのでそれらを代入して整理すれば求める式を得る。
指数関数
\( \displaystyle \sum_{k=0}^n r^k = \frac{r^{n+1}-1}{r-1} \)(r≠1)
\( \hspace{ 3pt }S=1+r+r^2+\cdots+r^n \)
\( rS=\hspace{ 15pt }r+r^2+\cdots+r^n+r^{n+1}\)
この両辺をひけば\( (1-r)S=1-r^{n+1} \)が得られるので両辺を1-rで割ればOKです。
多項式×指数関数
\( \displaystyle \sum_{k=1}^n kr^{k-1} = \frac{1-(n+1)r^n+nr^{n+1}}{(1-r)^2} \)
上の指数関数と同様の方法で計算します。ただし引き算した結果が指数関数になります。指数関数の結果は上で求めてますので計算ができます。
または指数関数の和の式をrで微分しても得られます。
二項係数
\( \displaystyle \sum_{k=0}^{n} {}_{n}C_{k} = 2^n \)
\( \displaystyle \sum_{n=k}^{m} {}_{n}C_{k} = {}_{m+1}C_{k+1} \)
\( \displaystyle \sum_{k=0}^{n} (_{n}C_{k})(_{n}C_{n-k}) = _{2n}C_{n} \)
\(_{n}C_{n-k}=_{n}C_{k}\)より成立。
これも覚えておく必要はほぼないです。
部分分数分解
\( \displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+1)} = 1-\frac{1}{n+1} \)
\( k(k+1)(k+2)=\frac{1}{4}\{k(k+1)(k+2)(k+3)-(k-1)k(k+1)(k+2)\}\)
より\(f(n)=\frac{1}{4}(n-1)n(n+1)(n+2)\)としてΣ計算の発想の式を使います。もちろんk(k+1)(k+2)(k+3)など数が増えても同様の考えが使えます。
応用例１： \( \displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+1)(k+2)} \)
=\displaystyle \frac{1}{2} \left(\frac{1}{2}-\frac{1}{6}+\frac{1}{6}-\frac{1}{12} + \cdots + \frac{1}{n(n+1)}-\frac{1}{(n+1)(n+2)} \right) \\
=\displaystyle \frac{1}{2} \left(\frac{1}{2}-\frac{1}{(n+1)(n+2)}\right)=\frac{n(n+3)}{4(n+1)(n+2)} \)
応用例２： \( \displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+2)} \)
=\displaystyle \frac{1}{2} \left(\frac{1}{1}-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\cdots + \frac{1}{n-2}-\frac{1}{n}+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2} \right)\\
=\displaystyle \frac{1}{2} \left( \frac{1}{1}+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}\right)=\frac{n(3n+5)}{4(n+1)(n+2)}\)
基本の発想とはやや異なり最初と最後以外にも２番目と最後から２番目も消えてくれません。ですがそれ以外は消えます。これだけで理解できない人は頭で理解できるまでΣの中を書きだしてみるとわかりやすいですよ。
階乗
三角関数
よって\(\displaystyle f(n)=\frac{\sin{(n-\frac{1}{2})x}}{2\sin{\frac{x}{2}}}\)とおいてΣ計算の発想の式を用いる。
これを使って左辺を見て右辺を導く問題はいまだに見たことないので覚える必要は全くと言っていいほどない。
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