体積の求め方（回転体ではない立体を積分で）｜数学の偏差値を上げて合格を目指す

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上野竜生です。立体の体積の求め方ですが球のように公式があるものはそれで求めればいいです。また回転体は回転体の公式通りやればいいのでそれほど難しくありません。ここでは回転体でない立体の体積を積分で計算する方法を紹介します。

$回転体以外の体積$

回転体は比較的解き方が決まっていますが回転体でない立体の体積は少し大変です。

<POINT>

x=t（またはy=t,z=t）のどれかで切断したときの面積S(t)を求める。
S(t)をx方向にtで積分する。

x=tで切断したときの面積S(t)を求めるのが１番大変です。x=tでやりにくければy=tやz=tで切断してもいいです。立体図形を正しく把握するのが大変です。回転体の体積の公式も実はこの式で求めているのです。（切り口が半径f(t)の円なのでS(t)=πf(t)²）

例題：x²+y²≦1かつy²+z²≦1を満たす部分の体積を求めよ。

x=tで切るのとz=tで切るのは全く同じであることがわかります。

y=tで切る方法，x=tで切る方法，大学でやる体積の公式を使った方法を示します。

答え(y=tで切断)y=tで切断したときの切り口は

$y=tで切断$

一辺が$ 2\sqrt{1-t^2} $の正方形。よって切り口の面積S(t)は

S(t)=4-4t²

以上より体積は

$ \displaystyle \int_{-1}^1 S(t)dt= \int_{-1}^1 (4-4t^2)dt=8 \int_0^1 (1-t^2)dt=\frac{16}{3} $

すごく簡単にできました。x=tやz=tで切断しても求められます。でも計算量が全然違います。参考程度に載せておきます。

答え(x=tで切断)x=tで切断したときの切り口は下の図の通り。（赤い部分）

$x=tで切断$

この面積をS(t)とすると対称性より

$\displaystyle S(t)=(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{1-t^2} \cdot t )\times 4 + (\frac{1}{2} \theta)\times 4 $

（∵弧度法で表された扇形の面積の公式より）

ただし$ \theta $は$ \sin{\theta}=\sqrt{1-t^2} , \cos{\theta}=t (0\leq t\leq \frac{\pi}{2})$を満たす角。

よって体積は対称性より

$ \displaystyle \int_{-1}^1 S(t)dt=2\int_0^1 S(t)dt \\
=\displaystyle 2\int_{0}^1 2t\sqrt{1-t^2} dt + 2\int_{0}^1 2\theta dt $

1つめの項については

$ \displaystyle 4 \int_0^1 t\sqrt{1-t^2} dt = 4\left[-\frac{1}{3}(1-t^2)^{\frac32}\right]_0^1 = \frac{4}{3} $

2つめの項については$ t=\cos{\theta} $と置換すると

$ \displaystyle 4\int_{\frac{\pi}{2}}^0 \theta \cdot (-\sin{\theta})d\theta \\
=\displaystyle 4\int_0^{\frac{\pi}{2}} \theta \sin{\theta} d\theta \\
=\displaystyle [-4\theta \cos{\theta}]_0^{\frac{\pi}{2}}-\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} -4\cos{\theta} d\theta\\
=\displaystyle 4\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos{\theta}d\theta \\
=\displaystyle [4\sin{\theta}]_0^{\frac{\pi}{2}} \\ =4$

よって$\displaystyle \frac{4}{3}+4=\frac{16}{3} $

大学で習う体積の公式は次の通りです。

求める領域をDとすると$\displaystyle \int_D 1 dx dy dz $

あとはこれを計算するだけです。Dの式をx,yで解く練習が必要になりますが機械的に計算するだけで出せます。

答え(大学レベル)D={(x,y,z)|x²+y²≦1かつy²+z²≦1}とする。

体積は

$ \displaystyle \int_D 1 dxdydz = \int_{-1}^1 \int_{-\sqrt{1-z^2}}^{\sqrt{1-z^2}} \int_{-\sqrt{1-y^2}}^{\sqrt{1-y^2}} dxdydz \\
=\displaystyle \int_{-1}^1 \int_{-\sqrt{1-z^2}}^{\sqrt{1-z^2}} 2\sqrt{1-y^2} dydz = \int_{-1}^1 \int_{0}^{\sqrt{1-z^2}} 4\sqrt{1-y^2} dydz \\
=\displaystyle \int_{-1}^1 \left[ 2y\sqrt{1-y^2}+2\sin^{-1}{y} \right]_{y=0}^{y=\sqrt{1-z^2}} dz \\
=\displaystyle \int_{-1}^{1} 2|z|\sqrt{1-z^2} + 2\sin^{-1}{\sqrt{1-z^2}} dz \\
=\displaystyle 4\int_0^1 z\sqrt{1-z^2} + \sin^{-1}{\sqrt{1-z^2}}dz$

$ \displaystyle \int_0^1 z\sqrt{1-z^2} dz = \left[-\frac{1}{3} (1-z^2)^{\frac32}\right]_0^1=\frac{1}{3} $

$ z=\cos{\theta} $とおくと

$ \displaystyle \int_0^1 \sin^{-1}{\sqrt{1-z^2}}dz = \int_{\frac{\pi}{2}}^{0} \sin^{-1}{(\sin{\theta})} \cdot (-\sin{\theta})d\theta\\
=\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \theta \sin{\theta}d\theta \\
=\displaystyle [-\theta \cos{\theta} + \sin{\theta}]_0^{\frac{\pi}{2}}\\
=1 $

よって$ \displaystyle 4\int_0^1 z\sqrt{1-z^2} + \sin^{-1}{\sqrt{1-z^2}}dz = 4\left(1+\frac{1}{3}\right)=\frac{16}{3} $

体積を求めるときにはどの軸から積分するかは重要ではありません。順番を変えると次のように計算できます。

答え(大学レベルで積分の順序を変える)上の解と同じDに対し体積は

$ \displaystyle \int_D dx dy dz = \int_{-1}^{1} \int_{-\sqrt{1-y^2}}^{\sqrt{1-y^2}} \int_{-\sqrt{1-y^2}}^{\sqrt{1-y^2}} dx dz dy \\
=\displaystyle \int_{-1}^{1} \int_{-\sqrt{1-y^2}}^{\sqrt{1-y^2}} 2\sqrt{1-y^2} dz dy \\
=\displaystyle \int_{-1}^{1} (2\sqrt{1-y^2})(2\sqrt{1-y^2}) dy \\
=\displaystyle \int_{-1}^1 4(1-y^2) dy =\frac{16}{3} $

なんとなく高校方式と似ていますがこれは

・体積はx=tの切断面S(y,z)の面積の積分。
・S(y,z)はy=tで切ったときの線分の長さl(z)の積分。
・l(z)はz=tで切ったときの1の積分。

と言う風にS(t)を求める段階で本当は2回積分しているのを円の面積の公式や長方形の面積の公式で省略しているだけという風に考えられます。なので大学方式でも高校方式でもほとんど差はありません。

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