ピタゴラス数の性質～「あまり」に着目～｜数学の偏差値を上げて合格を目指す

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上野竜生です。a²+b²=c²を満たす整数(a,b,c)のことをピタゴラス数といいます。それについて性質をいくつか紹介します。整数問題のほかの問題にも応用が効きます。

$ピタゴラス数の性質（「あまり」に着目）$

あまりに着目せよ

例題１　整数a,b,cがa²+b²=c²を満たしているとき
(1)　a,bのうち少なくとも1つは3の倍数であることを示せ。
(2)　a,b,cのうち少なくとも1つは5の倍数であることを示せ。

どちらも背理法で示すのがいいでしょう。ただし「何で割った余り」を考えるとうまくいくかはやってみるまでわかりません。(1)のように「3の倍数であること」を示すのに7で割った余りを考えるのは流石にあり得ないでしょう。まずは3で割った余りを考えるのが普通ですね。

答え(1)
aもbも3の倍数でないと仮定する
(3k+1)²=9k²+6k+1=3(3k²+2k)+1
(3k+2)²=9k²+12k+4=3(3k²+4k+1)+1より
3で割って余りが1,2のものを2乗すると3で割った余りは1になる。
よって(左辺)を3で割った余りは2
しかし(右辺)を3で割った余りは2ではない
（∵cが3の倍数なら(右辺)も3の倍数。cが3の倍数でなければ(右辺)を3で割った余りは1）
よって矛盾。a,ｂのうち少なくとも1つは3の倍数である。
(2)　同様にすると5で割った余りは以下のようになる。

aを5で割った余り	0	1	2	3	4
a²を5で割った余り	0	1	4	4	1

a,bがともに5の倍数でないとするとa²,b²を5で割った余りは1または4なので(左辺)を5で割った余りとして考えられるのは2,0,3のいずれかである。
cも5の倍数でないと仮定すると(右辺)を5で割った余りとして考えられるのは1または4である。
よって矛盾。a,b,cのうち少なくとも1つは5の倍数である。

例題２　a,b,cは最大公約数が1である整数でa²+b²=c²を満たしているとする。
(1)　cは奇数であることを示せ。
(2)　a,bのうち少なくとも一方は4の倍数であることを示せ。

いきなり(2)を同様のやり方で示そうとしましょう。4で割った余りは以下のようになる。

aを4で割った余り	0	1	2	3
a²を4で割った余り	0	1	0	1

a,bがともに4の倍数でないと仮定するとa²,b²を4で割ったあまりは0または1なので(左辺)を4で割った余りは0,1,2

・・・これではうまくいきません。4で割った余りだと4パターンしかなく不足していると考えます。先ほどと違い「4の倍数」を示したいから4で割った余りとはいかないのです。

(2)単独だと難問なので(1)の誘導をいれました。しかしこれもまた厄介です。2で割った余りではうまくいきません。結果としては(1)は4で割った余り，(2)は8で割った余りに着目します。

答え(1)　偶数の2乗は4の倍数。奇数の2乗は4で割ると1余る（∵(2k+1)²=4k²+4k+1）
よって(a,b)=(偶数,偶数)のとき(左辺)を4で割った余りは0なのでcは偶数。これではa,b,cの最大公約数が1なので不適。
(a,b)=(偶数,奇数)のとき(左辺)を4で割った余りは1なのでcは奇数。
(a,b)=(奇数,偶数)の時も同様。
(a,b)=(奇数,奇数)のとき(左辺)を4で割った余りは2だが，(右辺)は4で割った余りが0または1なので不適。
以上よりcは奇数である。
(2)　8で割った余りに着目すると次のようになる。

aを8で割った余り	0	1	2	3	4	5	6	7
a²を8で割った余り	0	1	4	1	0	1	4	1

(1)よりcは奇数だから(右辺)を8で割った余りは1
a,bがともに4の倍数でないと仮定するとa²,b²を8で割った余りは1,4のいずれかなので(左辺)を8で割った余りとして考えられるのは2,5,0である。よって矛盾。
以上よりa,bのうち少なくとも一方は4の倍数である。

なぜ(1)では2で割った余りでなく4で割った余りで，(2)は4で割った余りではなく8で割った余りなのか？と言われると「やってみたらうまくいくから」としかいえません。しかし全く手掛かりがないのかというとそうでもありません。
偶数：(2k)²=4k²だから2の倍数というより4の倍数
奇数：(2k+1)²=4k²+4k+1=4k(k+1)+1で，連続する2整数の積は偶数だから4で割った余りが1というより8で割った余りが1
(4k+1)²=16k²+8k+1だから4で割った余りが1というより8で割った余りが1
・・・などなど。言われている条件よりキツイ条件が見えてくるはずです。それを手掛かりにすれば多少は考える余地があります。

「何で割った余りに着目するか」それを見つけるのが最大の難所です。

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