上野竜生です。入試問題で「素数」という条件がよく出ます。素数の性質はたくさんあるのでどれを使うのか難しいですが，今回は性質をまとめてみました。役立ててください。
素数の性質
・1とその数自身以外に正の約数をもたない整数を素数という。(注：1は素数ではない)
以下ではpを素数とする。
・偶数の素数は2のみ。つまり素数は2または奇数である。
・1からp-1までのすべての整数はpと互いに素。
・abがpの倍数ならばaがpの倍数、またはbがpの倍数
いずれも当たり前ですが結構強力な条件です。基本的に式で表せる関数f(n)があってすべての整数nに対しf(n)はすべて素数といえるような関数はありません。なので「～を満たす素数をすべて求めよ」などという問題の場合，小さいほうに答えがあり，大きなものについては「因数分解」できてしまって1つも答えがないというのが定石です。
当たり前ですが素数は整数であり，素数は実数です。なのでまずは「実数条件」や「整数条件」から絞り込み，最後に素数かどうか確認するというパターンもあります。
例題１ 2次式だと少し簡単だけど・・・
解と係数の関係を使うと楽です。
p+q=15 , pq=a
p,qの偶奇を考えるとp,qは片方が偶数で片方が奇数である。
（∵ 偶数+偶数=偶数 ,奇数+奇数=偶数）
よってpを偶数,qを奇数としても一般性を失わない。
偶数の素数は2だけだからp=2
よってq=15-2=13でありこれは確かに素数である。
以上よりa=pq=2×13=26
例題２ 実はこんな性質も・・・
実際に小さいほうから確かめてみると次のようになります。
| p | 2 | 3 | 5 | 7 | 11 | 13 | 17 | 19 | 23 |
| p2 | 4 | 9 | 25 | 49 | 121 | 169 | 289 | 361 | 529 |
| p2を24で 割った余り |
4 | 9 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
ここから「p=2,3とp≧5」に場合わけし，pが5以上ならばp2を24で割った余りは1だろう・・・と想像ができます。
p≧5のときpは2,3の倍数ではないので6で割ったあまりは1または5
よってp=6k±1とかける。
p2=(6k±1)2=36k2±12k+1=24k2+12k(k±1)+1 （複号同順）
24k2は24の倍数、連続する2整数の積は偶数だから12k(k±1)は24の倍数なので
p2を24で割った余りは1
よってまとめると24で割ったあまりとして考えられるものは1,4,9である。
例題３ 入試頻出パターン
(2)pを素数とするとき，m3+n3=p3を満たす自然数の組(m,n)は存在しないことを示せ。
(1)は(2)で使いたいので一応示しますが素数のテーマとは全然関係ありません。
(1) (右辺)-(左辺)
=m2-mn+n2-m-n
=m(m-n-1)+n(n-1)≧0 (∵m>nとm,nが整数であることよりm-n-1≧0)
等号成立はm=2,n=1のとき
試験では(1)が示せなかったとしても(2)ではとりあえず結果を認めて使ってみましょう。
pは素数,m+n≧2だから(m+n, m2-mn+n2)=(p,p2) , (p2,p) , (p3,1)のどれかである。
m>nのとき(1)よりm+n≦m2-mn+n2だから(m+n , m2-mn+n2)=(p,p2)である。
このとき(m+n)2=m2+2mn+n2=p2とm2-mn+n2=p2の辺々を引くと
3mn=0となりmまたはnが0になるがm,nは自然数なので矛盾。
m<nのときも(1)の式は成り立つので同様にして矛盾。
m=nのとき2m3=p3となる。左辺は2の倍数だからpは偶数であり，偶数の素数は2だけだからp=2。よって2m3=8となりm3=4であるが，これを満たす自然数mは存在しない。
よってm3+n3=p3を満たす自然数の組(m,n)は存在しない。
なかなか手ごろな問題で結構骨があり、練習に最適な問題といえるでしょう。
素数はかなり厳しい条件なのでいろいろ制約があります。どの制約にひっかかるのか実験して考察すれば解決への糸口が見えます。
解説を読んで数学がわかった「つもり」になりましたか？数学は読んでいるうちはわかったつもりになりますが演習をこなさないと実力になりません。そのためには問題集で問題を解く練習も必要です。オススメの参考書を厳選しました
<高校数学>上野竜生です。数学のオススメ参考書などをよく聞かれますのでここにまとめておきます。基本的にはたくさん買うよりも…
上野竜生です。大学数学の参考書をまとめてみました。フーリエ解析以外は自分が使ったことある本から選びました。 大…
上野竜生です。当サイトでも少し前まで各ページで学習サイトをオススメしていましたが他にもオススメできるサイトはた…
