上野竜生です。2直線のなす角を求める問題はほぼ１パターンで解けます。
復習１： 傾き＝tanθ
直線y=mx+nがx軸となす角をθとします。この直線の傾きとはxが1増えたときのyの増加量のことでy=mx+nとおいたときの「m」の値です。
一方でtanθとはxが1増えたときのyの増加量のことです。つまり同じ定義です。この2つが等しいので
となります。
復習２： tanの加法定理
タンジェントの加法定理は以下の通りです。
$$ \tan{(\alpha+\beta)}=\frac{\tan{\alpha}+\tan{\beta}}{1-\tan{\alpha}\tan{\beta}}$$
$$ \tan{(\alpha-\beta)}=\frac{\tan{\alpha}-\tan{\beta}}{1+\tan{\alpha}\tan{\beta}}$$
なお，\(\displaystyle \tan{(90°-\theta)}=\frac{1}{\tan{\theta}} \)もあわせて知っておきましょう。
例題
角度を求める問題
それぞれの直線とx軸のなす角をα,βとするとtanα=2,tanβ=\(\frac{1}{3}\)であり，求めたい角はα-βである。しかしこれは直接求めるのは難しい。そこでtanの加法定理を使う。
答えy=2x+4とx軸のなす角をα
\( y=\frac{1}{3}x+5\)とx軸のなす角をβとすると
\( \tan{\alpha}=2 , \tan{\beta}=\frac{1}{3} \)である。
三角関数の加法定理より
\(\displaystyle \tan{(\alpha-\beta)}=\frac{\tan{\alpha}-\tan{\beta}}{1+\tan{\alpha}\tan{\beta}}=\frac{2-\frac{1}{3}}{1+\frac{2}{3}}=1 \)
よってα-β=45°
これは180°より小さいので答えは45°
角度を求める問題ではy切片は必要ありません。この問題文にある直線の式の「+4」「+5」の部分はどうでもいい数字です。
傾きを求める問題
答えy=3x+8とx軸のなす角をα，
y=mxとx軸のなす角をβとすると
tanα=3,tanβ=m
60°＜α＜90°よりtan(α-β)=tan60°=\( \sqrt{3} \)
よって三角関数の加法定理より
\(\displaystyle \tan{(\alpha-\beta)}=\frac{\tan{\alpha}-\tan{\beta}}{1+\tan{\alpha}\tan{\beta}}=\frac{3-m}{1+3m}=\sqrt{3} \)
整理すると\( 3-m=3\sqrt{3}m+\sqrt{3} \)
よって\(\displaystyle m=\frac{3-\sqrt{3}}{3\sqrt{3}+1}=\frac{10\sqrt{3}-12}{26}=\frac{5\sqrt{3}-6}{13}\)
オマケ
垂直なのでα-β=90° よってtanの加法定理とするとうまくいきません（tan90°が定義されていない）
垂直の時は傾きの積が-1という条件を使いましょう。
答え2直線は垂直に交わるから傾きの積は-1
∴5m=-1 よって\( m=-\frac{1}{5} \)
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