回転軸が傾いている回転体の体積

答え(1)　放物線上の点をP(x,3x²),直線上の点をQ(x,3x)とおく。
Pからy=g(x)へ垂線を引き足をHとするとPQ=3x-3x²
三角形の相似よりPH:HQ:PQ=\(1:3:\sqrt{10} \)なので
\(PH=\frac{1}{\sqrt{10}}(3x-3x^2) , QH=\frac{3}{\sqrt{10}}(3x-3x^2) \)
OH=tとすると
\(\displaystyle t=OQ-QH=\sqrt{10}x-\frac{3}{\sqrt{10}}(3x-3x^2) \)
ゆえに\(\displaystyle dt=(\sqrt{10}-\frac{9}{\sqrt{10}}+\frac{18}{\sqrt{10}}x) dx=(\frac{1}{\sqrt{10}}+\frac{18}{\sqrt{10}}x)dx\)
求める回転体の体積は
\(\displaystyle \int_0^{\sqrt{10}} \pi PH^2 dt = \int_0^1 \pi (\frac{1}{\sqrt{10}}(3x-3x^2))^2 \cdot (\frac{1}{\sqrt{10}}+\frac{18}{\sqrt{10}}x)dx \\
=\displaystyle \frac{9}{10\sqrt{10}}\pi \int_0^1 (x-x^2)^2\cdot (1+18x) dx \\
=\displaystyle \frac{9}{10\sqrt{10}}\pi \int_0^1 (18x^5-35x^4+16x^3+x^2)dx \\
=\displaystyle \frac{9}{10\sqrt{10}}\pi \left[3x^6 - 7x^5 + 4x^4 +\frac{1}{3}x^3 \right]_0^1 \\
=\displaystyle \frac{9}{10\sqrt{10}}\pi \cdot \frac{1}{3}=\frac{3}{10\sqrt{10}}\pi \)
(2) \(f(x)-g(x)=3x^2-3x=3x(x-1) \)なのでy=f(x)-g(x)とy=0の交点のx座標はx=0,1
よってWは
\(\displaystyle W=\int_0^1 \pi (3x^2-3x)^2 dx=\pi \int_0^1 9x^4-18x^3+9x^2 dx \\
=\displaystyle \pi \left[\frac{9}{5}x^5-\frac{9}{2}x^4+3x^3 \right]_0^1 = (\frac{9}{5}-\frac{9}{2}+3)\pi=\frac{3}{10}\pi \)
以上より
\(\displaystyle \frac{V}{W}=\frac{\frac{3}{10\sqrt{10}}\pi}{\frac{3}{10}\pi}=\frac{1}{\sqrt{10}}\)

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