円の伸開線（インボリュート）の性質まとめ

上野竜生です。円の伸開線の性質をまとめてみました。

媒介変数表示

インボリュートの媒介変数表示は次の通り

\(\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} x=a(\cos{\theta}+\theta\sin{\theta})\\y=a(\sin{\theta}-\theta\cos{\theta} )\end{array} \right.\end{eqnarray}\)

厳密にはこれは円の伸開線です。これは円に巻き付けた糸をピンと張ったままほどくときの糸の先端の軌跡です。形が少し複雑で対称性がなく，また囲まれた面積などはほぼ出題されないでしょう（囲まれないため）。回転体も出る可能性は低いです。

ここでは曲線の長さを丁寧に解説します。

曲線の長さ

a>0とする。0からxまでのインボリュートの曲線の長さは\( \frac{1}{2}ax^2 \)

[証明]

\( \displaystyle \int_0^x \sqrt{\left(\frac{dx}{d\theta}\right)^2+\left(\frac{dy}{d\theta}\right)^2} d\theta \\ = \displaystyle \int_0^x \sqrt{(-a\sin{\theta}+a\sin{\theta}+a\theta\cos{\theta})^2+(a\cos{\theta}-a\cos{\theta}+a\theta\sin{\theta})^2}d\theta\displaystyle \\ = \displaystyle a\int_0^x \sqrt{\theta^2 (\cos^2{\theta}+\sin^2{\theta})}d\theta \\ = \displaystyle a\int_0^x \theta d\theta \\ = \displaystyle \left[\frac{1}{2} a\theta^2\right]_0^x \\ = \displaystyle \frac{1}{2}ax^2 \)