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上野竜生です。今回は
\( \int \frac{1}{1+\cos{x}}dx , \int \frac{1}{1-\cos{x}}dx , \int \frac{1}{1+\sin{x}}dx , \int \frac{1}{1-\sin{x}}dx \)
の計算を解説します。
\( \displaystyle \int \frac{1}{1+\cos{x}}dx \)
＜重要＞
1±cosxの形が出たら半角の公式かも！？
方針１：分母分子に1-cosxをかける
最も思いつきやすい方法ですが上の＜重要＞を使った方針２のほうが楽です。また方針２のほうが\( \sqrt{1+\cos{x}}\)の積分などに応用するのが簡単なので実はあまりオススメではありません。
答え\( \displaystyle \int \frac{1}{1+\cos{x}} dx=\int \frac{1-\cos{x}}{1-\cos^2{x}}dx \\
=\displaystyle \int \frac{dx}{\sin^2{x}} - \int \frac{\cos{x}}{\sin^2{x}} dx \)
ここで第1項は公式\( \displaystyle \int \frac{dx}{\sin^2{x}}=-\frac{1}{\tan{x}}+C \)，第2項はt=sinxと置換すると(\(\frac{dt}{dx}=\cos{x}\))
=\displaystyle \int \frac{dx}{\sin^2{x}} - \int \frac{\cos{x}}{\sin^2{x}} dx \)
ここで第1項は公式\( \displaystyle \int \frac{dx}{\sin^2{x}}=-\frac{1}{\tan{x}}+C \)，第2項はt=sinxと置換すると(\(\frac{dt}{dx}=\cos{x}\))
\( \displaystyle -\frac{1}{\tan{x}}- \int \frac{dt}{t^2}
=\displaystyle -\frac{1}{\tan{x}}+t^{-1}+C\\
=\displaystyle -\frac{1}{\tan{x}}+\frac{1}{\sin{x}}+C\)
=\displaystyle -\frac{1}{\tan{x}}+t^{-1}+C\\
=\displaystyle -\frac{1}{\tan{x}}+\frac{1}{\sin{x}}+C\)
なお公式自体を忘れた場合はt=tanxとおいて置換積分することになります。
\( \displaystyle \int \frac{1}{\sin^2{x}} dx \\
=\displaystyle \int \frac{\cos^2{x}}{\sin^2{x}} \cdot \frac{1}{\cos^2{x}} dx \\
=\displaystyle \int \frac{1}{t^2} \cdot (\tan{x})' dx\\
=\displaystyle -\frac{1}{t} +C=-\frac{1}{\tan{x}}+C \)
\( \displaystyle \int \frac{1}{\sin^2{x}} dx \\
=\displaystyle \int \frac{\cos^2{x}}{\sin^2{x}} \cdot \frac{1}{\cos^2{x}} dx \\
=\displaystyle \int \frac{1}{t^2} \cdot (\tan{x})' dx\\
=\displaystyle -\frac{1}{t} +C=-\frac{1}{\tan{x}}+C \)
方針２：半角の公式を利用する
慣れないと思いつきにくいですが簡単なので是非理解したいところです。
答え\( \displaystyle \int \frac{1}{1+\cos{x}}dx\\
=\displaystyle \int \frac{1}{2\cos^2{\frac{x}{2}}}dx\\
=\displaystyle \tan{\frac{x}{2}}+C\)
=\displaystyle \int \frac{1}{2\cos^2{\frac{x}{2}}}dx\\
=\displaystyle \tan{\frac{x}{2}}+C\)
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答えが一致することの確認
方針１と方針２は見かけの答えが違います。実は同じなのですが一応チェックしてみます。
\( \displaystyle \tan{\frac{x}{2}}=-\frac{1}{\tan{x}}+\frac{1}{\sin{x}} \)を示す。
(右辺)
\( \displaystyle =\frac{1-\cos{x}}{\sin{x}}=\frac{2\sin^2{\frac{x}{2}}}{2\sin{\frac{x}{2}}\cos{\frac{x}{2}}}=\frac{\sin{\frac{x}{2}}}{\cos{\frac{x}{2}}}=\tan{\frac{x}{2}}\)
=(左辺)
\( \displaystyle \int \frac{1}{1-\cos{x}}dx \)
ほぼ同様なので略解のみ書きます。
方針１：分母分子に1+cosxをかける
答え
\( \displaystyle \int \frac{1}{1-\cos{x}}dx = \int \frac{1+\cos{x}}{\sin^2{x}}dx=-\frac{1}{\tan{x}}-\frac{1}{\sin{x}}+C\)
方針２：半角の公式の利用
答え
\(\displaystyle \int \frac{1}{1-\cos{x}}dx = \int \frac{1}{2\sin^2{\frac{x}{2}}} dx=-\frac{1}{\tan{\frac{x}{2}}}+C\)
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\( \displaystyle \int \frac{1}{1+\sin{x}}dx \)
方針１：分母分子に1-sinxをかける
今度はt=cosxと置換することに注意してください。ほぼ同様なので略解です。
答え
\( \displaystyle \int \frac{dx}{1+\sin{x}}=\int \frac{1-\sin{x}}{\cos^2{x}}dx=\tan{x}-\frac{1}{\cos{x}}+C\)
方針２：半角の公式の利用
sinxだと半角の公式が使えないので\( \sin{x}=\cos{(\frac{\pi}{2}-x)}\)の関係を使ってcosにしてから計算します。略解のみ示します。
答え
\( \displaystyle \int \frac{dx}{1+\sin{x}}=\int \frac{dx}{1+\cos{(\frac{\pi}{2}-x)}}=\int \frac{dx}{2\cos^2{(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2})}}\\ \displaystyle=-\tan{(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2})}+C \)
\( \displaystyle \int \frac{1}{1-\sin{x}} dx \)
方針１：分母分子に1+sinxをかける
答え
\( \displaystyle \int \frac{dx}{1-\sin{x}}=\int \frac{1+\sin{x}}{\cos^2{x}}dx=\tan{x}+\frac{1}{\cos{x}}+C\)
方針２：半角の公式を利用
答え
\( \displaystyle \int \frac{dx}{1-\sin{x}}=\int \frac{dx}{1-\cos{(\frac{\pi}{2}-x)}}=\int \frac{dx}{2\sin^2{(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2})}}\\ \displaystyle=\frac{1}{\tan{(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2})}}+C\)
２個目からは略解ですが１個目が理解できれば補えるはずです。ぜひ補って理解してみてください。方針１でも悪くないですが方針２でできるようになることをオススメします。
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