不定方程式を解く基本2パターン（大小関係の設定と因数分解）

答えa≦b≦cとしても一般性を失わない。このとき

\( \frac1a \geq \frac1b \geq \frac1c \)より

\(  \frac1a+\frac1b+\frac1c \leq \frac1a+\frac1a+\frac1a=\frac3a \)

よって\( \frac3a \geq 1\)だから\( a\leq 3\)

a=1のとき\( \frac1b+\frac1c=0 \)を満たす整数はない。

a=3のときb=c=3しかない。(b=3,c≧4とすると1より小さくなる。b≧4,c≧4のときも同様）

a=2のとき\( \frac1b+\frac1c=\frac12 \)を満たす整数b,c(2≦b≦c)を見つける。

\( \frac1b+\frac1c \leq \frac1b+\frac1b=\frac2b\)より

\( \frac2b \geq \frac12 \)だからb≦4

b=2とすると\( \frac1c=0 \)　これを満たす整数cはない。

b=3のときc=6

b=4のときc=4

以上より(a,b,c)=(3,3,3),(2,3,6),(2,4,4)

a≦b≦cでない場合も含めると答えは

(a,b,c)=(3,3,3),(2,4,4),(4,2,4),(4,4,2),(2,3,6),(2,6,3),(3,2,6),(3,6,2),(6,2,3),(6,3,2)

答え与えられた式を変形すると

x³-y³=1

(x-y)(x²+xy+y²)=1

x-y,x²-xy+y²は整数だからかけて1になる整数の組を探すと

(x-y,x²+xy+y²)=(1,1),(-1,-1)

x-y=1のときx=y+1をx²+xy+y²=1に代入すると

(y+1)²+(y+1)y+y²=3y²+3y+1=1

3y(y+1)=0よりy=0,-1

よって(x,y)=(1,0),(0,-1)

x-y=-1のときも同様にすると

(y-1)²+(y-1)y+y²=-1

3y²-3y+2=0

この方程式は実数解をもたないので不適。

よって(x,y)=(1,0),(0,-1)

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