eが無理数であることの証明

上野竜生です。eが無理数であることの証明をしてみます。難関大入試ではたまに見ます。

\(\displaystyle a_n= \int_0^1 x^n e^{1-x}dx \)とおく。

\(\displaystyle \frac{a_n}{n!}=e-\left(\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdots +\frac{1}{n!} \right) \)を満たす

部分積分より
\(\displaystyle a_n= \left[-x^n e^{1-x} \right]_0^1 - \int_0^1 (-nx^{n-1} e^{1-x})dx=-1+n \int_0^1 x^{n-1} e^{1-x}dx = na_{n-1} -1 \)・・・①

\(\displaystyle a_1= \int_0^1 x e^{1-x}dx = [-x e^{1-x}]_0^1 - \int_0^1 (-e^{1-x})dx = -1 - [e^{1-x}]_0^1=e-2 \)・・・②

①より両辺をn!で割ると
\(\displaystyle \frac{a_n}{n!}=\frac{a_{n-1}}{(n-1)!}-\frac{1}{n!}\)

繰り返し用いると
\(\displaystyle \frac{a_n}{n!}=\frac{a_{n-2}}{(n-2)!}-\frac{1}{(n-1)!}-\frac{1}{n!}\\ \displaystyle \cdots = \frac{a_1}{1!}-\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}-\cdots -\frac{1}{n!}\)

②より\(\displaystyle \frac{a_1}{1!}=e-2=e-\frac{1}{0!}-\frac{1}{1!} \)だから
\(\displaystyle \frac{a_n}{n!}=e-\left(\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdots +\frac{1}{n!} \right) \)・・・③

0<a_n<1を満たす

\(a_n\)の定義に含まれる積分の被積分関数をf(x)とおく。
つまり、\(f(x)=x^n e^{1-x} \)とおく。
\( f'(x)=nx^{n-1} e^{1-x} - x^n e^{1-x} = x^{n-1}e^{1-x}(n-x) \)
n≧1ならば0≦x≦1でf'(x)≧0となりf(x)は単調増加。f(0)≦f(x)≦f(1)，つまり0≦f(x)≦1であり等号は常には成り立たないから
\(\displaystyle \int_0^1 0 dx<\int_0^1 f(x)dx < \int_0^1 1 dx\)，つまり\(0<a_n<1\)・・・④

[余談]　eは階乗の逆数の和で書ける（無理数の証明には使いません）

③の左辺について\(\displaystyle 0< \frac{a_n}{n!} < \frac{1}{n!} \)であり
\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n!}=0 \)だからハサミウチの原理よりn→∞での③の左辺は0。よって右辺も0。
ここから次の式が得られる。
\(\displaystyle e=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} \)・・・⑤

証明を完結！

さてeが有理数であると仮定する。つまり\(\displaystyle e=\frac{p}{q} \)(p,qは自然数)とおけると仮定する。
両辺にq!をかけると\(eq!=p(q-1)!\)となり\(eq!\)は整数となるはず。
しかし③のnをqに変えq!倍すると
\(\displaystyle a_q = eq! - q!\left(\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdots +\frac{1}{q!} \right) \)
この右辺は整数となるはず。しかし④より左辺は0より大きく1より小さいのだから整数ではない。これは矛盾。

よってeは無理数である。(Q.E.D.)

難関大学入試レベルにちょうど良い題材ですので1度読んでおくとよいでしょう。