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上野竜生です。楕円の外にある点Pから楕円には2つの接線が引けますが，その接線が直交するような点の軌跡を求めてみましょう。かなり難しいです。

楕円の準円

問題

点P(X,Y)から楕円\(\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 \)に2つの接線が引け，その2つの接線が直交するとき点Pの軌跡を求めよ。

方針は接線の傾きをmとおくと接線はy=m(x-X)+Yとおけるのでここからmについての方程式を導き，さらに直交することから傾きの積が-1を使います。

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答え

問題の図

X≠±aのとき

接線はy軸に平行でないので接線の傾きをmとおくと直線の方程式はy=m(x-X)+Yとおける。

これが楕円の接線なのでxについての2次方程式

\(\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{\{m(x-X)+Y\}^2}{b^2}=1 \)・・・①

の判別式は0になる。①を整理すると

\( b^2 x^2+a^2\{mx+(Y-mX)\}^2-a^2 b^2=0\)
\( (a^2 m^2+b^2)x^2 + 2a^2 m(Y-mX)x + a^2(Y-mX)^2 - a^2 b^2=0 \)・・・②

②の判別式をDとおくと

\( \displaystyle \frac{D}{4}= \{a^2 m(Y-mX)\}^2 - (a^2 m^2+b^2)\{a^2(Y-mX)^2 - a^2 b^2 \}=0\)
ここから(Y-mX)の部分は展開してもいいですがこのまま計算すると美しいです。

ゆえに

\(\displaystyle a^4 m^2 (Y-mX)^2 - a^4 m^2 (Y-mX)^2 - a^2 b^2 (Y-mX)^2 +a^2 b^2 (a^2 m^2+b^2)\\
=-a^2 b^2 (Y-mX)^2+ a^2 b^2 (a^2 m^2+b^2)\)

a,b≠0なので\( (Y-mX)^2-a^2 m^2-b^2=0\)

\( (X^2-a^2)m^2 -2XYm + (Y^2-b^2)=0 \)

・・・③

mについての2次方程式を解いたときの2解が2本の接線の傾きであるから③の解をm=m1,m2とおくと直交する条件はm1m2=-1

X≠±aのときなので③はちゃんと「2次」方程式になります。

解と係数の関係より

\(\displaystyle m_1 m_2=\frac{Y^2-b^2}{X^2-a^2}=-1\)

整理すると\( X^2+Y^2=a^2+b^2 \)・・・④

X=aのとき

接線はy軸に平行なので1つの接線は「X=a」

直交するからもう１つはx軸に平行でなければならず，明らかにその接線は「Y=±b」

よって交点の座標は(a,±b)となりこれは④を満たす。

X=-aのとき

X=aと同様にすると交点の座標は(-a,±b)となりこれは④を満たす。

 

以上より求める軌跡は

円\( x^2+y^2=a^2+b^2\)　（原点を中心とする半径\( \sqrt{a^2+b^2} \)の円）

答えの図

 

いかがでしたか。難関大学で過去に出題されていますが通常はここまで要求されないかと思います。持ち込み不可の試験対策としては最初の方針と結果を頭の片隅にいれて細かい部分はぶっつけ本番でもいいのではないでしょうか？

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