アステロイドの性質

上野竜生です。入試頻出のアステロイドについて解説します。

アステロイドの媒介変数表示

比較的覚えやすいです。なお，\( \sin^2{\theta}+\cos^2{\theta}=1\)なので
\( \displaystyle x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=a^{\frac{2}{3}}\)が成り立ちます。

以下では面積，回転体，線分の長さを計算していきます。その際，x軸対称かつy軸対称であることを使います

アステロイドの内部の面積は\(\frac{3}{8}\pi a^2\)

[証明] x軸対称を利用しy>0の部分を2倍する

\(\displaystyle  S=2 \int_{-a}^{a} y dx \\
\displaystyle =2\int_{\pi}^{0} a\sin^3{\theta} \cdot 3a\cos^2{\theta}\cdot(-\sin{\theta}) d\theta　\left(∵\frac{dx}{d\theta}=3a\cos^2{\theta}\cdot(-\sin{\theta})\right)\\
\displaystyle = 6a^2 \int_{0}^{\pi} \sin^4{\theta}\cos^2{\theta} d\theta \\ \)

\( \displaystyle = 6a^2 \int_{0}^{\pi} \sin^4{\theta}(1-\sin^2{\theta}) d\theta \\
\displaystyle = 6a^2 \int_{0}^{\pi} (\sin^4{\theta}-\sin^6{\theta}) d\theta \\
\displaystyle = 6a^2 \int_{0}^{\pi} \left( \frac{1-\cos{2\theta}}{2} \right)^2-\left( \frac{1-\cos{2\theta}}{2} \right)^3 d\theta \\ \)

\(\displaystyle = 6a^2 \int_{0}^{\pi} \frac{1}{8}\left(2-4\cos{2\theta}+2\cos^2{2\theta}-1+3\cos{2\theta}-3\cos^2{2\theta}+\cos^3{2\theta} \right) d\theta \\
\displaystyle = 6a^2 \int_{0}^{\pi} \frac{1}{8}\left(1-\cos{2\theta}-\cos^2{2\theta}+\cos^3{2\theta} \right) d\theta \\
\displaystyle = 6a^2 \int_{0}^{\pi} \frac{1}{8}\left(1-\cos^2{2\theta} \right) d\theta \\ \left( ∵\int_{0}^{\pi} \cos{2\theta}d\theta=\int_{0}^{\pi} \cos^3{2\theta}d\theta=0 \right)\)

\(
\displaystyle = 6a^2 \int_{0}^{\pi} \frac{1}{8}\left(1-\frac{1+\cos{4\theta}}{2} \right) d\theta \\
\displaystyle =\frac{3}{8}a^2 \int_{0}^{\pi} (1-\cos{4\theta}) d\theta \\
\displaystyle =\frac{3}{8}a^2 \left[ \theta-\frac{1}{4}\sin{4\theta} \right]_{0}^{\pi}\\
\displaystyle =\frac{3}{8}\pi a^2 \)

アステロイドをx軸で回転させたときの体積は\(\frac{32}{105}\pi a^3\)

[証明]
\( \displaystyle \int_{-a}^{a} \pi y^2 dx \\
\displaystyle = \int_{\pi}^{0} \pi (a\sin^3{\theta})^2 (-3a\cos^2{\theta}\sin{\theta})d\theta \\
\displaystyle = 3\pi a^3 \int_{0}^{\pi} \sin^7{\theta}\cos^2{\theta} d\theta \\
\displaystyle = 3\pi a^3 \int_{0}^{\pi} (1-\cos^2{\theta})^3\cos^2{\theta} \sin{\theta} d\theta
\)

ここで\(t=\cos{\theta} \)と置換する
\(\displaystyle = 3\pi a^3 \int_{1}^{-1} (1-t^2)^3 t^2 \cdot(-1) dt \\
\displaystyle = 3\pi a^3 \int_{-1}^{1} (t^2 - 3t^4+3t^6-t^8) dt \\
\displaystyle = 6\pi a^3 \int_{0}^{1} (t^2 - 3t^4+3t^6-t^8) dt \\
\displaystyle = 6\pi a^3 \left[\frac{1}{3}t^3 - \frac{3}{5}t^5 + \frac{3}{7}t^7 - \frac{1}{9}t^9 \right]_{0}^{1} \\
\displaystyle = 6\pi a^3 \left(\frac{105-189+135-35}{315} \right) \\
\displaystyle = 6\pi a^3 \frac{16}{315} \\
\displaystyle = \frac{32}{105} \pi a^3\)

アステロイドの長さは6a

[証明]　y>0の部分を2倍する
\( \displaystyle 2\int_{0}^{\pi} \sqrt{\left(\frac{dx}{d\theta}\right)^2+\left(\frac{dy}{d\theta}\right)^2} d\theta \\
=\displaystyle 2\int_{0}^{\pi} \sqrt{(-3a\cos^2{\theta}\sin{\theta})^2+(3a\sin^2{\theta}\cos{\theta})^2}d\theta \\
=\displaystyle 2\int_{0}^{\pi} \sqrt{9a\cos^2{\theta}\sin^2{\theta}(\sin^2{\theta}+\cos^2{\theta})}d\theta \\
=\displaystyle 2\int_{0}^{\pi} 3a |\sin{\theta}\cos{\theta}| d\theta \\
=\displaystyle 3a\int_{0}^{\pi} |\sin{2\theta}| d\theta \\
=\displaystyle 6a\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin{2\theta} d\theta \\
=\displaystyle 6a \left[-\frac{1}{2}\cos{2\theta} \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}\\
=6a\)