立体の色の塗り分け方は何通り？｜数学の偏差値を上げて合格を目指す

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上野竜生です。今回は立体の色の塗り分け方が何通りあるか紹介します。基本的には回転して同じになるかどうかを意識するのが重要で，普通の順列をつかうのか円順列を使うのかしっかり見極めましょう。

例題１

立方体の6面に色を塗る。
(1)異なる6色をすべて使う塗り方は何通りあるか？
(2)異なる5色を使う塗り方は何通りあるか？

答え(1)異なる6色を「A,B,C,D,E,F」とする。立方体の対称性からAはどの位置に塗っても回転すれば同じになる。そこで天井をAとしても一般性を失わない。床の塗り方は残った5色から1つ選べばいいので5通り。側面は残りの4色をぬればいいがこれは回転させれば同じになるから円順列である。よって(4-1)!=6通り。
以上より5×6=30通り。
(2)2回使う色の決め方が5通り。2回使う色をAとし，残りをB,C,D,Eとする。
Aを天井にする。
①もう片方のAが床にある場合
この場合は回転させて同じになるだけでなく，裏返しても同じになるので数珠順列です。塗り方は(4-1)!÷2=3通り。
②もう片方のAは側面にある場合
$立方体$
図のように考える。赤色の面がAである。右の図は上からみたもの。
隣り合うAを側面に並べると残りの4色の塗り方は4!=24通り。
ただし，表からみたものと裏から見たものが重複するので24÷2=12通り
よって①②より12+3=15通り。
色の決め方も考慮すると75通り。

例題２

(1)正四面体の4面を4色で塗り分ける方法は何通りあるか？
(2)正八面体の8面を8色で塗り分ける方法は何通りあるか？

答え(1)底をAとしても一般性を失わない。
残りの3面をB,C,Dで塗るやり方は円順列だから2通り。
よって2通り。
(2)Aを床としても一般性を失わない。
Aと平行な面（天井）の色の決め方は7通り。
$正八面体$
次に残る6面はAに隣接する3面と，天井に隣接する3面がある。残った6色のうちA側にくる3面を決めるやり方は₆C₃=20通り。
A側の3面の色の塗り方は円順列だから2通り。
天井側の3面の色の塗り方は3!=6通り。
以上より7×20×2×6=1680通り。

A側を塗る段階ではまだ回転したら同じになるので円順列なのですが，それを塗った後はA側の3面がすでに着色済みなので回転させると同じにはならなくなります。なので後から塗る天井側は円順列にはなりません。

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