4次関数の2重接線の方程式と囲まれた部分の面積

答え直線ℓの方程式をy=mx+nとおき接点のx座標をα,β(α<β)とする。すると

(x⁴-8x²+16x+24)-(mx+n)=(x-α)²(x-β)²

となるのでこれを係数比較すればよい。整理すると

x⁴-8x²+(16-m)x+(24-n)=x⁴-(2α+2β)x³+(α²+β²+4αβ)x²-(2α²β+2αβ²)x+α²β²
よって
2α+2β=0　∴β=-α・・・①
α²+β²+4αβ=-8・・・②
2α²β+2αβ²=m-16・・・③
α²β²=24-n・・・④

①を②に代入すると-2α²=-8　∴α=±2
(α,β)=(±2,∓2)（複合同順）だが，α<βよりα=-2,β=2
これらを③，④に代入するとm=16, n=8
よって二重接線の式はy=16x+8

答え求める面積は2つの接点の間の部分，つまり-2≦x≦2の範囲である。
（この範囲でx⁴-8x²+16x+24≧16x+8であるから）求める面積は

\(\displaystyle \int_{-2}^{2} \{(x^4-8x^2+16x+24)-(16x+8) \}dx\\
=\displaystyle 2\int_0^2 (x^4-8x^2+16) dx \\
=\displaystyle 2\left[\frac{1}{5}x^5- \frac{8}{3}x^3+ 16x \right]_0^2\\
=\displaystyle 2\left(\frac{32}{5}-\frac{64}{3}+32 \right) \\
=\displaystyle \frac{512}{15}\)

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