数I　絶対値のついた不等式の解き方

上野竜生です。絶対値のついた不等式の解き方を紹介します。絶対値を外す段階での場合分けと解いた不等式をまとめることが重要です。

|f(x)|≦g(x)（関数）のとき

絶対値の外し方の基本通り解きます。|f(x)|はf(x)≧0のときf(x),f(x)<0のとき-f(x)なので

f(x)≧0のときf(x)≦g(x)
f(x)<0のとき-f(x)≦g(x)

を解けばOKです。等号がついていなかったり，不等号の向きが逆でも同様です。太字の不等式を解く必要があります。3回（f(x)≧0とf(x)<0はほとんど同じ不等式）解く必要があるので少し面倒です。また不慣れな人だと間違いやすいのでしっかり練習しましょう。

f(x)≧0とはx-2≧0，つまりx≧2のことです。
f(x)<0とはx<2のことです。ここまでは答案に明記しなくても計算用紙か頭の中で行い，答案にはいきなり「x≧2のとき」または「x-2≧0,つまりx≧2のとき」と書けばいいでしょう。

答えx≧2のときx-2<2x-1　つまりx>-1
x≧2とあわせるとx≧2
x<2のとき-x+2<2x-1　つまりx>1
x<2とあわせると1<x<2
以上よりx>1

さっきと不等号が逆なので答えはx≦1だとわかりますが例題１を解いていないという前提です。

場合分けの範囲（x≧2やx<2）とあわせた範囲を求めることと最後に結果をまとめることも必要です。

|f(x)|≦a（定数）のとき

これは簡単です。普通に-a≦f(x)≦aとすればOKです。等号がなくなっても同様です。不等号の向きが逆のとき，つまり|f(x)|≧aはf(x)≧aまたはf(x)≦-aとなります。

証明は上のg(x)が関数のときにg(x)=aを代入すれば良い。

例えば上の式は
f(x)≧0のときf(x)≦a　f(x)≧0とあわせると0≦f(x)≦a
f(x)<0のとき-f(x)≦a　f(x)<0とあわせると-a≦f(x)<0
合わせると-a≦f(x)≦a

割と基礎的な問題なのでしっかり練習しましょう。