Σ計算の書き方・シグマの意味（基本）｜数学の偏差値を上げて合格を目指す

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上野竜生です。Σの意味と書き方を理解しましょう。そして超基本性質を確認します。

$Σ(シグマ)の基本$

Σ（シグマ）とは

和の記号。「・・・」を使って書くところを厳密に書くのに使います。

例：　１＋２＋３＋４＋・・・＋９＋１０＝？

おそらく55でしょう。しかし，これは「・・・」の部分に「５＋６＋７＋８」が入っているだろうと推測しているのです。意地悪な人だと

私は「・・・」の部分に「１＋１＋１」が入ると思った。

１＋２＋３＋４＋・・・＋９＋１０＝１＋２＋３＋４＋１＋１＋１＋９＋１０＝３２って言っても間違いとは言えないじゃないか！「５＋６＋７＋８」が入るという根拠は？え？(威圧)

ってなると思います。そこで正確に表記するためにΣがあるというわけです。

この計算（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10）は下のように誤解のない書き方で書けます。

$ \displaystyle \sum_{n=1}^{10} n $

これでn=1から10まで　nを足してくださいねという意味になります。

より一般には次のようになります。

$ \displaystyle \sum_{k=1}^n a_k = a_1+a_2+a_3+\cdots +a_{n-1}+a_n $

kとかnをゴチャ混ぜにする人がいるので注意してください。k=1からnまでa_kを足していく記号です。

基本公式

実際に書き出してみるとわかると思います。

①$ \displaystyle \sum_{k=1}^n a_k=\sum_{i=1}^n a_i $

②$ \displaystyle \sum_{k=1}^n ra_k = r \sum_{k=1}^n a_k $ (rは実数)

③$ \displaystyle \sum_{k=1}^n (a_k+b_k) = \sum_{k=1}^n a_k + \sum_{k=1}^n b_k $　（a_k-b_kでも同様）

①はどちらもa₁+a₂+a₃+…+a_nのことなので等しいです。つまり「k」の部分は何でもいいのです。ただしi=1から足すのならa_kではなくa_iに変える必要があります。

②はどちらもra₁+ra₂+・・・+ra_nのことですね。

③はどちらもa₁+b₁ + a₂+b₂+ ・・・+ a_n+b_n　のことですね。

このように有限個の和では順番は入れ替えられます。公式として紹介しなくても自明レベルですね。

練習

Σの意味を理解しているかの練習

数列a_n,b_nの値は下の表のとおりとする。次の値を求めよ。
(1) $\displaystyle \sum_{k=1}^3 a_k $
(2) $\displaystyle \sum_{k=1}^3 b_k $
(3) $\displaystyle \sum_{k=1}^3 a_k b_k $
(4) $\displaystyle \sum_{k=2}^3 \frac{1}{b_k} $

n	1	2	3	4
a_n	5	3	-1	9
b_n	0	1	4	5

答え(1)　a₁+a₂+a₃=5+3+(-1)=7
(2)　b₁+b₂+b₃=0+1+4=5
(3)　a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃=0+3+(-4)=-1
(4)　$ \displaystyle \frac{1}{b_2}+\frac{1}{b_3} = 1+\frac{1}{4}=\frac{5}{4} $

この例からわかるように
$ \displaystyle \sum_{k=1}^n a_k b_k = \sum_{k=1}^n a_k \sum_{k=1}^n b_k $
は成り立ちません。

Σで書く練習

例題：　n≧3とする。次の式をΣを用いて表せ。
5n+7n+9n+11n+…+(2n-1)n

この練習そのものが入試にでるというわけではありませんが，自分の表現したい式がこの例題のような式だったとして「・・・」を使わずΣで書くほうが正確です。そこで「・・・」を含まないシグマの式で書けるように練習することが大切です。

またこの問題はいろいろな考えができます。

(2n-1)を重視する考え

最後の項の形を見てa_k=(2k-1)nとおく。するとa₃+a₄+…+a_nになるので
$ \displaystyle \sum_{k=3}^n (2k-1)n $

k=1から足したいという考え

a₁=5n , a₂=7n,・・・とするにはa_k=(2k+3)nとすればいいですね。ただしこの場合k=1からnまでではありません。最後の(2n-1)nはa_n-2となっていることに注意しましょう。するとa₁+a₂+・・・+a_n-2となるので答えは

$ \displaystyle \sum_{k=1}^{n-2} (2k+3)n $

となります。

見た目は違いますがもちろんこの２つの答えは一致します。気になる人は実際に書き出してみてください。

なおnを前に出して$ \displaystyle n \sum_{k=1}^{n-2} (2k+3) $などもOKです。

$ \displaystyle \sum_{k=5}^{2n-1} kn $とは意味が違います（これだと5n+6n+7n+…+(2n-1)nの意味）

シグマの式を自分で書けるようにしましょう。特にk=1から足すのならシグマの中はkの式になります。（nは定数扱い）。注意しましょう。

クイズ

同じになるものを選んでください

Q1

$Σ[k=2→4]kn$

2n+3n+4n

2k+3k+4k

2n+3n+4n+5n

2k+3k+4k+5k

正解です！

間違っています！

Q2

s+(s+1)+(s+2)+(s+3)…+(2s)

正解です！

間違っています！

Q3

$1/(1・2)+1/(3・4)+1/(5・6)+・・・+1/(2n-1)(2n)$

正解です！

間違っています！

Q4

$Σ[k=2→3n] k^2$

※選択肢が見えにくい人用

A：↓

$1/2 * n(n+1)(2n+1) - 1$

B：↓

$1/2 * n(3n+1)(6n+1) - 1$

正解です！

間違っています！

Q5

$Σ[k=1→n] 3^k・5^k$

※選択肢が見えにくい人用

A：↓

$1/2 * (3^n - 1)* 1/4 * (5^n - 1)$

B:↓

$3/2 * (3^n - 1)* 5/4 * (5^n - 1)$

C：↓

$1/2* (3^(n+1) -1)* 1/4* (5^(n+1) -1)$

正解です！

間違っています！

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シグマの書き方・基本クイズ

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