三角関数の公式まとめ

上野竜生です。三角関数の公式をいくつかまとめましたので覚えましょう。基本的に証明は他のページで行い，ここでは結果のみを記します。

レベル１　絶対覚える公式

• sin,cosの定義
• 0,30,45,60,90°の値（覚えなくても導ければOKですが基礎なので絶対間違えないようにしましょう。）
• \(\displaystyle  \tan{\theta}=\frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}} \)
• \( \sin{(-\theta)}=-\sin{\theta} \)
• \( \cos{(-\theta)}=\cos{\theta} \)
• \( \sin^2{\theta}+\cos^2{\theta}=1 \)
• \( \sin{(\alpha + \beta)}=\sin{\alpha}\cos{\beta}+\cos{\alpha}\sin{\beta} \)
• \( \cos{(\alpha + \beta)}=\cos{\alpha}\cos{\beta}-\sin{\alpha}\sin{\beta} \)

レベル2　出題頻度が高いので覚えておきたいもの

基本的にはレベル１の公式だけ覚えれば何とかなります。ですが毎回組み立てるのは時間の無駄になることもあります。出題頻度が高い公式は導けたとしても覚えておくことをおすすめします。

• sin,cos,tanの15,75,22.5,67.5°の値
• 三角関数の加法定理（sin,cos,tan)
• \( \sin{(\alpha - \beta)}=\sin{\alpha}\cos{\beta}-\cos{\alpha}\sin{\beta} \)
• \( \cos{(\alpha - \beta)}=\cos{\alpha}\cos{\beta}+\sin{\alpha}\sin{\beta} \)
• \( \displaystyle \tan{(\alpha + \beta)}=\frac{\tan{\alpha}+\tan{\beta}}{1-\tan{\alpha}\tan{\beta}} \)
• \( \displaystyle \tan{(\alpha-\beta)} = \frac{\tan{\alpha}-\tan{\beta}}{1+\tan{\alpha}\tan{\beta}} \)

2倍角の公式

• \(  \sin{2\theta}=2\sin{\theta}\cos{\theta} \)
• \(  \cos{2\theta}=\cos^2{\theta}-\sin^2{\theta}=2\cos^2{\theta}-1=1-2\sin^2{\theta} \)
• \( \displaystyle \tan{2\theta}=\frac{2\tan{\theta}}{1-\tan^2{\theta}} \)

レベル３　出題頻度【中】

ここまではなんやかんやで出題されやすいので覚えておきたいところです。かつ、ここの正解率は少し下がります。ライバルと差をつけるのに丁度良いレベルでしょう。

・18°の倍数の値

半角の公式

• \( \displaystyle \sin^2{\frac{\theta}{2}}= \frac{1-\cos{\theta}}{2} \)
• \( \displaystyle \cos^2{\frac{\theta}{2}}= \frac{1+\cos{\theta}}{2} \)
• \( \displaystyle \tan^2{\frac{\theta}{2}}=\frac{1-\cos{\theta}}{1+\cos{\theta}} \)

３倍角の公式

• \( \sin{3\theta}= 3\sin{\theta}-4\sin^3{\theta} \)
• \( \cos{3\theta}=4\cos^3{\theta}-3\cos{\theta} \)

三角関数の合成

\( a\sin{\theta}+b\cos{\theta}=\sqrt{a^2+b^2}\sin{(\theta+\alpha)} \)
ただし、\( \alpha \)は\( \displaystyle \sin{\alpha}=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} , \cos{\alpha}=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} \)を満たす角

レベル４　出題頻度低

教科書に乗っているかもしれませんが出題頻度は低いです。覚えなくてもよいレベルでしょう。ただし、導出はできるようになりましょう。

和積の公式

\( \displaystyle \sin{x}+\sin{y}=2\sin{\frac{x+y}{2}}\cos{\frac{x-y}{2}}\)

\( \displaystyle \sin{x}-\sin{y}=2\cos{\frac{x+y}{2}}\sin{\frac{x-y}{2}}\)

\( \displaystyle \cos{x}+\cos{y}=2\cos{\frac{x+y}{2}}\cos{\frac{x-y}{2}}\)

\( \displaystyle \cos{x}-\cos{y}=-2\sin{\frac{x+y}{2}}\sin{\frac{x-y}{2}}\)

積和の公式

\( \displaystyle \sin{A}\sin{B}=-\frac{1}{2}\{\cos{(A+B)}-\cos{(A-B)}\} \)

\( \displaystyle \sin{A}\cos{B}=\frac{1}{2}\{\sin{(A+B)}+\sin{(A-B)}\} \)

\( \displaystyle \cos{A}\cos{B}=\frac{1}{2}\{\cos{(A+B)}+\cos{(A-B)}\} \)

レベル５　マニアックな式

ほとんど出題されませんが、まとめなので置いておきます。覚える必要はほぼないです。

ディリクレ核

\( \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \cos{(kx)}=\frac{\sin{(n+\frac{1}{2})x}}{2\sin{\frac{x}{2}}}-\frac{1}{2}\)

証明はΣ計算のページに書いています。

cosの累乗倍角の積

\( \displaystyle \cos{\alpha}\cos{2\alpha} \cdots \cos{2^n\alpha}=\frac{\sin{2^{n+1}\alpha}}{2^{n+1}\sin{\alpha}} \)

証明は両辺に\( \sin{\alpha}\)をかけて2倍角の公式を何度も使います。

60°ずつずらした角の積は3倍角

\( \sin{3\theta}=-4\sin{\theta}\sin{(\theta+60°)}\sin{(\theta-60°)}\)

\( \cos{3\theta}=4\cos{\theta}\cos{(\theta+60°)}\cos{(\theta-60°)}\)

チェビシェフの多項式

\( \cos{n\theta}=T_n(\cos{\theta})\)

ただし，\( T_0(x)=1 , T_1(x)=x , \)

\( T_{n+1}(x)=2xT_n(x)-T_{n-1}(x) \)

いかがでしたか。3倍角はレベル4にするか迷いました。最低限レベル１までを覚え、それ以外は導出できるようになればOKです。