上野竜生です。面積を求める方法を学習しましょう。
基本
\( \displaystyle \int_a^b |f(x)| dx \)
f(x)dxは縦の長さが|f(x)|,横の長さが微小dxである長方形の面積と考えられます。それをx=aからx=bになるまで足しあわせたもの（∫）と考えることができます。
\( \displaystyle \int_a^b |f(x)-g(x)|dx \)
特にf(x)≧g(x)なら絶対値を外して計算できる。
この「上の関数から下の関数を引く」というのが重要です。
答えまずは交点のx座標を求める。
\( x^2=-2x^2+3 \)よりx=±1
-1≦x≦1では-2x2+3のほうが上にあるので求める面積は
\( \displaystyle \int_{-1}^2 (-2x^2+3)-x^2 dx \\ \displaystyle =\int_{-1}^1 (-3x^2+3)dx \\ \displaystyle =[-x^3+3x]_{-1}^1=4 \)
どちらが上かややこしい場合は絶対値をつけておけばいいのですが最終的に絶対値は外すのでやはり上か下か正確に求めておきましょう。
ここまでが数IIの範囲です。ここからは数IIIの範囲なので理系の人だけ勉強すればOKです。数IIIになってもあくまでも面積を求める時の積分の立式は同じで，被積分関数が多項式以外になるという感じです。
応用パターン yで積分する
公式のxとyを入れ替えただけです。
\( \displaystyle \int_a^b |f(y)| dy \)
あまり出題されませんし，すぐに思い出せると思います。
応用パターン 媒介変数表示
\( S=\displaystyle \int_a^b y dx \\= \displaystyle \int_{\alpha}^{\beta} y(t) x'(t)dt \)
ただしα,βはx(α)=a ,x(β)=bを満たす値
これも比較的すぐに計算できると思います。x=a,bをα，βに直すこと，yをy(t)にすることは比較的覚えてるのですが最後のx'(t)を忘れないように注意してください。dxとdtは等しくありません。
x=x(t)より\( \frac{dx}{dt}=x'(t) \)であり，dx=x'(t)dt です。
応用パターン 極座標表示
極座標の場合は長方形の足し合わせではなく扇形っぽい形の足し合わせと考えますが考え方を覚えるよりは公式を覚えるほうが早いので公式を紹介します。
図で赤い部分の面積はおよそ\(\frac{1}{2}r^2\theta \)でありそれの足し合わせだから次の公式が得られます。正確には赤い扇形?三角形?の右側の辺がrであっても左側の辺がrとは限らず微妙な誤差がありますがそのあたりはハサミウチの原理を使えば極限としては誤差が0になるところです。
\( \displaystyle \int_a^b \frac{1}{2}r(\theta)^2 d\theta \)
どうしても忘れた場合は媒介変数表示
\( \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} x=r(\theta)\cos{\theta} \\ y=r(\theta)\sin{\theta} \end{array} \right.\end{eqnarray}\)
として計算することもできます。なので諦める必要はありません。（ふつう計算量は多くなってしまいます）
以上で面積の求め方はかなりマスターできたと思います。最初の立式ができればあとは計算するだけです。そこで行き詰まる人は計算力を上げましょう。
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