パスカルの三角形

上野竜生です。掛け算の九九の表にはいろんな性質がありましたね。今回はパスカルの三角形を勉強します。これにもたくさんの性質があって面白いですよ。

(x+y)ⁿの計算

という課題が初見で出たら実際に展開するのが普通でしょう。ということで頑張って計算してみました。

やってやれなくはないのですがすごく大変です。今回のようにn=1,2,3,4,5,6・・・と順番に全部求めるのなら地道にするしかないかもしれませんがもししばらく経ってから突然

と言われたら6乗だけ求めればいいのにまた2乗3乗・・・と計算する必要があります。

ということでこれらの結果はすぐ導けるように暗記しようと思います。

特徴を掴んで暗記しよう

先ほどの表を暗記しろ！と言われたらどうしますか？ある程度数学の知識があったり展開してみた人は

・xⁿから始まりyⁿで終わる

・項が1つ右に進むごとにxの指数が1ずつ減り，yの指数が1ずつ増える

このぐらいはわかったでしょう。つまり１度計算すればしばらく経っても次の表ぐらいまでは復元できるでしょう。

あとは係数だけ覚えればいいのです。ということで次だけ覚えればいいのです。

「この数字が三角形状に並んだ表」をパスカルの三角形といいます。そしてこれにはいろいろな性質があります。

性質１　コンビネーションと相性がいい

n個の中からk個を選ぶやり方は_nC_k通りです。_nC_kを表す式は下の通りです。

\(\displaystyle {}_{n}C_{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!} \)

（n!＝1からnまでの積＝1×2×3×・・・×n，0!=1）

これを使うとさきほどのパスカルの三角形は次のように書けます

性質２　_nC_r+_nC_r+1=_n+1C_r+1

これはパスカルの三角形の図で覚えるとわかりやすいでしょう。

証明はコンビネーションの定義に戻ればOKです。

\( (左辺)={}_{n}C_{r}+{}_{n}C_{r+1}\\
=\displaystyle \frac{n!}{r!(n-r)!}+\frac{n!}{(r+1)!(n-r-1)!}\\
=\displaystyle \frac{n!(r+1)+n!(n-r)}{(r+1)!(n-r)!}\\
=\displaystyle \frac{n!(n+1)}{(r+1)!(n-r)!}\\
=\displaystyle \frac{(n+1)!}{(r+1)!\{(n+1)-(r+1)\}!}\\
={}_{n+1}C_{r+1}=(右辺)\)

性質３　_nC₀＋_nC₁+_nC₂+・・・+_nC_n=2ⁿ

これは性質そのものを暗記ではなく証明を暗記するべきです。

証明は二項定理に値を代入するだけです。

[証明]　二項定理より

(x+y)ⁿ
=_nC₀xⁿy⁰+_nC₁x^n-1y¹+_nC₂x^n-2y²+・・・+_nC_nx⁰yⁿ

これにx=1,y=1を代入すると求める式を得る。

最後何を代入するかで無限個の等式が得られるため証明を覚えるべきなのです。つまり

_nC₀+_nC₁・2¹＋_nC₂・2²+・・・+_nC_n・2ⁿ=3ⁿ

なども証明を覚えていれば簡単に導き出せますね（x=1,y=2を代入するだけ）

ここまでは基礎です。ここからは少しレベルの高い性質を紹介します。

性質４：r_nC_r=n_n-1C_r-1

[証明]

\( \displaystyle r{}_nC_{r}=\frac{rn!}{r!(n-r)!}\\
=\displaystyle \frac{n!}{(r-1)!(n-r)!}\\
=\displaystyle \frac{n(n-1)!}{(r-1)!(n-r)!}\\
=n{}_{n-1}C_{r-1}\)

この性質は次の性質4'を示すときに使います。

性質4'　pが素数で1≦r≦p-1のとき_pC_rはpの倍数

[証明]性質4よりr_pC_r=p_p-1C_r-1

右辺はpの倍数だから左辺もpの倍数。

pは素数かつ1≦r≦p-1よりpとrは互いに素だから_pC_rがpの倍数

性質5　_rC_r+_r+1C_r+_r+2C_r+・・・+_nC_r=_n+1C_r+1

証明は厳密にはrに関する帰納法（r=nのときの成立とr=kで成立するならばr=k+1でも成立）を使うことになります。ですがアイデアだけ説明すれば理解できると思います。

まず最初の項は_rC_r=1=_r+1C_r+1であることに注意します。

_r+1C_r+1+_r+1C_r+_r+2C_r+・・・+_nC_r

あとは最初の2項に性質２が使える形となるので性質２を使います。

_r+2C_r+1+_r+2C_r+・・・+_nC_r

するとまた最初の2項に性質2が使える形となります。以下繰り返し性質２を使うと最終的には右辺のみが残ります。

性質６（マニアック）　_nC₀²+_nC₁²+…+_nC_n²=_2nC_n

これは超難しいです。簡単に証明しますが次の[証明]で理解できなければ性質６は無視してもいいでしょう。

[証明]

(x+1)ⁿ(1+x)ⁿ=(x+1)²ⁿを展開し，xⁿの係数を比較する。

（左辺）＝(_nC₀xⁿ+_nC₁x^n-1+_nC₂x^n-2+・・・+_nC_n)(_nC₀+_nC₁x+_nC₂x²+・・・+_nC_nxⁿ)

より展開したときのxⁿの係数は示すべき式の左辺になる。

（右辺）を展開したときのxⁿの係数は明らかに_2nC_n

よって求める式が得られる。

普通の受験生なら性質３まで，数学を武器にするなら性質５まで，特色入試レベルなら性質６まで知っておきましょう。