二項定理～○○の係数を求める問題を中心に～

上野竜生です。二項定理を使う問題は山ほど登場します。なので理解しておきましょう。

二項定理とは

です。

なお，\( \displaystyle {}_nC_k=\frac{n!}{k!(n-k)!} \)でn!=n(n-1)・・・3・2・1です。

二項定理の例題

これは単純ですね。二項定理より\( \displaystyle _{n}C_{3}=\frac{n(n-1)(n-2)}{6} \)です。

例題１と同様に考えます。a=2x, b=-3yとすると\(a^3b^3\)の係数は\( _{6}C_{3}=20 \)です。ただし，\(a^3b^3\)の係数ではなく\(x^3y^3\)の係数であることに注意します。

\(20a^3b^3=20(2x)^3(-3y)^3=-4320x^3y^3\)なので
答えは-4320となります。

\( \displaystyle (x^2)^3\left(\frac{1}{x}\right)^4=x^2 \)であることに注意しましょう。よって\( _{7}C_{3}=35\)です。\( _{7}C_{2}=21\)と勘違いしないようにしましょう。

とここまでは基本です。

11=10+1とし，\((10+1)^{77}\)を二項定理で展開します。このとき，
\(10^{77},10^{76},\cdots , 10^2\)は100の倍数で下２桁には関係ないので\(10^1\)以下を考えるだけでOKです。\(10^1\)の係数は77，定数項(\(10^0\))の係数は1なので

77×10+1=771　下２桁は７１となります。

このタイプではある程度パターン化できます。まず下１桁は１で確定，下から２番目はn乗のnの一の位になります。101のn乗や102のn乗など出題者側もいろいろパターンは変えられるので例題４のやり方をマスターしておきましょう。

多項定理

二項定理の応用です。これもパターンで覚えておきましょう。ずばり

$$ \frac{8!}{3!2!3!}=560 $$

なのですがこの説明が少し理解しにくい人もいるかもしれません。とにかくこのタイプはそれぞれの指数部分の階乗で割っていく，と覚えておけばそれで問題ないです。

では最後にここまでの応用問題を出してみます。

であることに注意します。まずはa,b,c≥0, a+b+c=7かつ，2a+b-c=9となる(a,b,c)をすべて求めましょう。

a=7のとき，a+b+c=7を満たすのは(b,c)=(0,0)　しかし2a+b-c=9ではないので不適
a=6のとき，(b,c)=(1,0),(0,1)　どちらも不適
a=5のとき b+c=2かつb-c=-1　b,cは整数なので不適
a=4のとき，b+c=3かつb-c=1　ゆえにb=2,c=1
a=3のとき，b+c=4かつb-c=3　不適
a=2のとき，b+c=5かつb-c=5 ゆえにb=5,c=0
a=1のとき，b+c=6かつb-c=7　不適
a=0のとき，b+c=7かつb-c=9　b=8,c=-1となるがc≧0を満たさず不適

以上より(a,b,c)=(4,2,1),(2,5,0)が条件を満たすことがわかります。

なので先ほどの例題５に従い\( (a+b+c)^7\)の\(a^4b^2c\)の係数（ア）と\(a^2b^5c^0\)の係数（イ）を求めます。

（ア）は\( \displaystyle \frac{7!}{4!2!1!}=105 \)
（イ）は\( \displaystyle \frac{7!}{2!5!0!}=21\)です。

ただし，\(a=x^2, b=-x , c=\frac{3}{x} \)であることに注意してそれぞれの\(x^9\)の係数を計算します。

（ア）\(\displaystyle 105a^4b^2c^1=105(x^2)^4 (-x)^2 \left(\frac{3}{x}\right)^1\) \(=105\cdot (-1)^2 \cdot 3^1 x^9=315x^9\)
（イ）\(\displaystyle 21a^2b^5c^0=21(x^2)^2(-x)^5\left(\frac{3}{x}\right)^0\) \(=21\cdot (-1)^5 x^9=-21x^9\)

よって展開すると
(\(x^{14}\)の項)＋・・・＋(\(x^{10}\)の項)＋\((315x^9-21x^9)\)+(\(x^8\)の項)＋・・・+(\(x^{-7}\)の項)

となるので\(x^9\)の係数は315-21=294となります。

最後はなかなか難しいです。偏差値60ぐらいで良ければ間違えても仕方ないでしょう・・・。しかしそれ以上を目指すなら間違えられません。計算ミスに注意して解けるようにしましょう。

クイズ