当サイトは、PRを含む場合があります。
上野竜生です。2次関数と直線の位置関係について述べます。
位置関係は大きく３通りしかない
ズバリ
・異なる2点で交わる
・1点で交わる（接する）
・交わらない
そして，これらを判別するのに役立つのが判別式です。
広告
放物線y=ax2+bx+cと直線y=mx+nの交点のx座標
基本事項「交点の座標を求めることは連立方程式を解くということ」なので
y=ax2+bx+cとy=mx+nを連立させると簡単に
ax2+bx+c=mx+nというxだけの方程式が出来上がります。
この解が交点のx座標であり，交点がいくつあるかを判別することはこのx座標がいくつあるかを判別することに等しいです。よって右辺を移項したxの2次方程式
ax2+(b-m)x+(c-n)=0の判別式（解の公式のルートの中身）をDとすると
D=(b-m)2-4a(c-n)であり，これが
D>0 → 交点は2個。異なる2点で交わる。
D=0 → 交点は1個。接する。
D<0 → 交点は0個。交わらない。
ということになるのです。
例題
放物線y=x2-3x+1と直線y=x-2の交点をすべて求めよ。
何個あるか？より少し先を行く問題です。すべて求められるということは何個かわかるはずですから。
答えx2-3x+1=x-2を解けばよい。
x2-4x+3=(x-1)(x-3)=0なので交点は2つで、交点のx座標はx=1,3
y=x-2に代入すると交点は(1,-1),(3,1)
x2-4x+3=(x-1)(x-3)=0なので交点は2つで、交点のx座標はx=1,3
y=x-2に代入すると交点は(1,-1),(3,1)
放物線y=x2-3x+1と直線y=kx-2が交わらないとき，定数kの値の範囲を求めよ。
答えx2-3x+1=kx-2を整理すると
x2-(k+3)x+3=0・・・①
①の判別式をDとするとD<0であれば良い。
D=(k+3)2-12=k2+6k-3<0
よって\( -3-2\sqrt{3}<k<-3+2\sqrt{3} \)
x2-(k+3)x+3=0・・・①
①の判別式をDとするとD<0であれば良い。
D=(k+3)2-12=k2+6k-3<0
よって\( -3-2\sqrt{3}<k<-3+2\sqrt{3} \)
数IIの微分まで習えば2次関数以外の多項式でも交点の数などがわかるのですが数I範囲でも2次関数に関してはわかります。数IIを習うまでは使うでしょう。
解説を読んで数学がわかった「つもり」になりましたか？数学は読んでいるうちはわかったつもりになりますが演習をこなさないと実力になりません。そのためには問題集で問題を解く練習も必要です。オススメの参考書を厳選しました
<高校数学>上野竜生です。数学のオススメ参考書などをよく聞かれますのでここにまとめておきます。基本的にはたくさん買うよりも…
上野竜生です。大学数学の参考書をまとめてみました。フーリエ解析以外は自分が使ったことある本から選びました。 大…
上野竜生です。当サイトでも少し前まで各ページで学習サイトをオススメしていましたが他にもオススメできるサイトはた…
