内積の定義と垂直条件

上野竜生です。今回は内積の定義や基本事項を確認したいと思います。

内積の定義

なす角θを用いた定義

\(\vec{OA}\)と\(\vec{OB} \)のなす角(∠AOB)をθとする。このとき\(\vec{OA}\)と\(\vec{OB} \)の内積\(\vec{OA}\cdot \vec{OB} \)は
\(\vec{OA} \cdot \vec{OB}=|\vec{OA}||\vec{OB}|\cos{\theta} \)である。

成分での定義

平面ベクトルのとき

\(\vec{OA}=(x_1,y_1) , \vec{OB}=(x_2,y_2) \)とする。このとき内積は
\(\vec{OA}\cdot \vec{OB}=x_1 x_2+y_1 y_2 \)

空間ベクトルのとき

\(\vec{OA}=(x_1,y_1,z_1) , \vec{OB}=(x_2,y_2,z_2) \)とする。このとき内積は
\(\vec{OA}\cdot \vec{OB}=x_1 x_2+y_1 y_2 + z_1 z_2 \)

さて，この２つの定義が同値であることを確かめておきましょう。空間の場合だけやれば平面も同様なので空間ベクトルのほうだけ示します。
余弦定理より
\(\displaystyle \cos{\theta}=\frac{|\vec{OA}|^2+|\vec{OB}|^2-|\vec{AB}|^2}{2|\vec{OA}||\vec{OB}|} \)なので
\(\displaystyle \frac{1}{2} \left(|\vec{OA}|^2+|\vec{OB}|^2-|\vec{AB}|^2 \right)=x_1 x_2+y_1 y_2+z_1 z_2 \)を示せばよい。
(左辺)=
\(\displaystyle \frac{1}{2} \left\{x_1^2+y_1^2+z_1^2+x_2^2+y_2^2+z_2^2 - (x_2-x_1)^2-(y_2-y_1)^2-(z_2-z_1)^2 \right\}\\
=x_1 x_2+y_1 y_2+z_1 z_2\)
=(右辺)
よって2つの定義は同値である。

ベクトルの垂直条件

2つのベクトルが垂直
⇔2つのベクトルのなす角θ=90°
⇔2つのベクトルの内積が0

特に成分表示すると
\(\vec{x}=(a,b),\vec{y}=(c,d) \)が垂直とはac+cd=0のこと。
\(\vec{x}=(a,b,c),\vec{y}=(d,e,f)\)が垂直とはad+be+cf=0のこと。

重要な性質

内積には次の性質がある。（いずれも２つの定義のどちらかを使えば自明だと思います。）
1.　\(\vec{a} \cdot \vec{a}=|\vec{a}|^2 \)
2.　\(\vec{a}\cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a} \)
3.　\(\vec{a} \cdot (\vec{b}+\vec{c})=\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a}\cdot \vec{c} \)
4.　\( (k\vec{a})\cdot \vec{b}= \vec{a} \cdot (k\vec{b}) = k (\vec{a}\cdot \vec{b}) \)

それではいくつか簡単な例題を解きましょう！

例題１

例題２

このようにベクトルの大きさを求めるときは2乗したものを計算してからルートをつけること、内積の展開はほとんど通常の式と同様の計算ができること（細かい部分に注意。大きさになったり内積だったりの細かいところはしっかり演習を積んで慣れておきましょう）がとても重要でこれから当たり前のように出てきますよ。
そして一度kの式で表せてしまえばそこからはベクトル関係なしのただの方程式であることにも注意しておきたいところです。