4点が同一平面上にある条件をベクトルで

上野竜生です。今回は四面体OABC上の点Pを\(\vec{OP}=a\vec{OA}+b\vec{OB}+c\vec{OC} \)・・・（＊）とおき，Pがある平面上にあるときa,b,cにはどんな制約があるか調べます。つまり3点を通る平面上にPがあるわけですから4点が同一平面上にある条件を調べます。

基本

①　平面OAB上にあるとき

平面OAB上の点Pは\(\vec{OP}=s\vec{OA}+t\vec{OB} \)とかけます。これと（＊）を見比べるとa=s, b=t, c=0となります。s,tは任意の実数なのでa,bには制約がありませんがc=0という制約があります。
まとめると

②　平面ABC上にあるとき

同様に平面ABC上の点Pは始点をAにすると\(\vec{AP}=s\vec{AB}+t\vec{AC} \)とかけます。始点をOにすると
\(\vec{OP}=\vec{OA}+\vec{AP} \\
=\vec{OA}+s\vec{AB}+t\vec{AC} \\
=\vec{OA}+s(\vec{OB}-\vec{OA})+t(\vec{OC}-\vec{OA}) \\
=(1-s-t)\vec{OA}+ s\vec{OB}+t\vec{OC} \)
これと（＊）を見比べるとa=1-s-t, b=s, c=tとなります。3つをすべて足すとs,tが消去できa+b+c=1となります。これが制約条件です。
まとめると

ここまでの結果は頻出なので覚えましょう。それを踏まえて次の応用問題にもチャレンジしてみましょう！

応用問題

下の図のような四面体OABCにおいてBCの中点をD,OCの中点をEとする。

\(\vec{OP}=a\vec{OA}+b\vec{OB}+c\vec{OC} \)・・・（★）とおく。Pが次の面を動くときa,b,cに関する制約条件として正しいものを選べ