組にわける方法は何通り？

上野竜生です。組に分ける方法は何通りあるかの問題について解説します。微妙なニュアンスの違いで答えが変わってくるので注意が必要です。

重要なのは区別できるかできないか

具体例は下の例題のようなものを参考にしてください。基本的に人は区別されます。なので「3個の玉」は区別できないが「3人」はたとえAさんBさんCさんと名前をつけていなくても区別できるとみなされます。ただし「異なる玉」や「赤・白・黒の玉」「大中小の玉」などであれば区別はできます。

下の例題で(1)と(3)は全く同じです。なぜなら5冊の組と4冊の組と3冊の組は区別できるので(1)の人と(3)の組は1対1に対応するからです。しかし(2)と(4)は違います。4冊の組と4冊の組と4冊の組は区別できませんのでどの「4冊」を誰に与えるかによって3!=6通り考えられてしまい6対1に対応するからです。

このように人かモノか、個数が同じか違うかなど正確に読まないと一見同じ問題に見えても実は違っていたりして、間違った計算をしてしまう危険もあります。

例題

(1)Aさんは12冊中5冊が選べるから₁₂C₅=792通り。
Bさんは残りの7冊から4冊が選べるから₇C₄=35通り。
Cさんは残りの3冊から3冊を選ぶから₃C₃=1通り。
よって792×35×1=27720通り

(2)　(1)とまったく同様にして
₁₂C₄×₈C₄×₄C₄=34650通り。

(3)　(1)とまったく同様であるから27720通り。

(4)　34650÷3!=5775通り

(5)　1冊目の本をA,B,Cさんの誰にわけるか決めるやり方が3通り。
2冊目も3冊目もすべて3通り。よって3¹²=531441通り。
しかしこの中には誰かが0冊になる場合も含む。
・2人が0冊のとき
Aさんに12冊　またはBさんに12冊またはCさんに12冊だから3通り。
・1人が0冊のとき
A,Bさんに12冊配るのは2¹²=4096通り。このうちすべてAさんに配る場合とすべてBさんに配る場合を除いて4096-2=4094通り。
B,Cさんに配るときも4094通り。C,Aさんに配るときも4094通り。
よって4094×3=12282通り。
以上より531441-12282-3=519156通り。

(6)　519156÷6=86526通り