当サイトは、PRを含む場合があります。
上野竜生です。√を含む複雑な式の代入は地道に計算する必要がありません。割り算の余りを使った解法がありますので紹介します。
例題１
\( \alpha=\frac{1+\sqrt{5}}{2} \)のとき，\( \alpha^3+\alpha^2+3\alpha \)の値を求めよ。
まずは地道に解いてみます。
\(\displaystyle \alpha^2 = \frac{6+2\sqrt{5}}{4}=\frac{3+\sqrt{5}}{2} \)
\(\displaystyle \alpha^3= \frac{3+\sqrt{5}+3\sqrt{5}+5}{4}=2+\sqrt{5} \)
より\(\displaystyle 2+\sqrt{5}+\frac{3+\sqrt{5}}{2}+\frac{3+3\sqrt{5}}{2}=5+3\sqrt{5} \)
この程度なら計算量もまだマシですが，4次式以上になるともっと大変ですね。割り算の余りを使った解法なら汚い√の値は最後に代入するだけなので少し楽になります。（この程度ならあまり変わらないように見えますが・・・）
答え\( \alpha \) はx2-x-1=0の解である。・・・①
f(x)=x3+x2+3xとおくと
f(x)=(x2-x-1)(x+2)+6x+2なので・・・②
\( f(\alpha)=5+3\sqrt{5} \)・・・③
f(x)=x3+x2+3xとおくと
f(x)=(x2-x-1)(x+2)+6x+2なので・・・②
\( f(\alpha)=5+3\sqrt{5} \)・・・③
① x2-x-1の求め方
\( \alpha=\frac{1+\sqrt5}{2} \)
\( 2\alpha=1+\sqrt{5} \)
\( 2\alpha-1=\sqrt{5} \)
\( (2\alpha-1)^2=5 \)
\( 4(\alpha^2-\alpha-1)=0 \)
なのでx2-x-1=0の解。もちろん解の公式と係数比較してもいいですよ。
\( \alpha=\frac{1+\sqrt5}{2} \)
\( 2\alpha=1+\sqrt{5} \)
\( 2\alpha-1=\sqrt{5} \)
\( (2\alpha-1)^2=5 \)
\( 4(\alpha^2-\alpha-1)=0 \)
なのでx2-x-1=0の解。もちろん解の公式と係数比較してもいいですよ。
② この計算はf(x)をx2-x-1で割った商がx+2，余り6x+2であることを表現しているだけです。実際に割り算の筆算をすればx+2や6x+2は求められます。
③ α2-α-1=0なのでf(α)=0×(α+2)+6α+2=6α+2とわかります。
広告
例題２
x3-3x+4=0の実数解を\( \alpha \)とする。f(x)=x4+3x3-3x2-5xとするとき
\( f(\alpha) \)の値を求めよ。
\( f(\alpha) \)の値を求めよ。
3次方程式の解の公式はありますが，高校範囲外ですしそれを使って解け！と言ってるわけではありません。こういうときは地道には解けなくなるので今回学んだ解法しか使えなくなります。なおある程度カンのいい人なら割り算した余りは定数だろうな・・・と予想できますね。
（∵理論上は余りが定数とは限らないが余りが1次式や2次式だと結局解を求める必要がでてくるため）
答えf(x)をx3-3x+4で割ると商がx+3，余りは-12だから
f(x)=(x3-3x+4)(x+3)-12
よってf(α)=(α3-3α+4)(α+3)-12=0(α+3)-12=-12
f(x)=(x3-3x+4)(x+3)-12
よってf(α)=(α3-3α+4)(α+3)-12=0(α+3)-12=-12
例題２のような形になると地道計算もできず，この解法が生きてきますね。
解説を読んで数学がわかった「つもり」になりましたか？数学は読んでいるうちはわかったつもりになりますが演習をこなさないと実力になりません。そのためには問題集で問題を解く練習も必要です。オススメの参考書を厳選しました
<高校数学>上野竜生です。数学のオススメ参考書などをよく聞かれますのでここにまとめておきます。基本的にはたくさん買うよりも…
上野竜生です。大学数学の参考書をまとめてみました。フーリエ解析以外は自分が使ったことある本から選びました。 大…
上野竜生です。当サイトでも少し前まで各ページで学習サイトをオススメしていましたが他にもオススメできるサイトはた…
