上野竜生です。位置ベクトルとは何か？と基本的な位置ベクトルについて紹介します。
位置ベクトルとは
任意に点Oをとったとき\(\vec{p}=\vec{OP} \)をOに関する位置ベクトルという。
細かい意味はあとで行うとして先に内分・外分の位置ベクトルを見てみましょう。
内分の位置ベクトル
$$ \vec{p}=\frac{n\vec{a}+m\vec{b}}{m+n}$$
つまり，どの点△を基準にとろうと
$$ \vec{△P}=\frac{n\vec{△A}+m\vec{△B}}{m+n}$$・・・①
が成り立つということです。これが位置ベクトルの意味です。△は本質ではありません。
[証明] わかりやすいように①を示す。始点△を任意にとる。
\(\displaystyle \vec{△P}=\vec{△A}+\frac{m}{m+n}\vec{AB} \\
=\displaystyle \vec{△A}+\frac{m}{m+n} \left(\vec{△B}-\vec{△A} \right)=\frac{n}{m+n}\vec{△A}+\frac{m}{m+n}\vec{△B} \)
(Q.E.D.)
特にABの中点はABを1:1に内分する点なので位置ベクトルは\(\displaystyle \frac{\vec{a}+\vec{b}}{2}\)
外分の位置ベクトル
$$ \vec{p}=\frac{-n\vec{a}+m\vec{b}}{m-n}$$
m:nに外分＝m:(-n)に内分と覚えれば一発で終わります。証明も同様です。（m>nのときとm<nのときで場合分けするほうがよりよいでしょう）
練習
GはAMを2:1に内分する点だからGの位置ベクトルは
\(\displaystyle \frac{\vec{a}+2\vec{m}}{2+1}=\frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3} \)
(2) (1)において始点をAとすると
\(\displaystyle \vec{AG}=\frac{\vec{AA}+\vec{AB}+\vec{AC}}{3}\)
\(\vec{AA}=\vec{0} \)なので
\(\displaystyle \vec{AG}=\frac{\vec{b}+\vec{c}}{3}\)
(1)の結果は覚えておきましょう。公式です。ただ足して3で割るだけなので覚えやすいでしょう。(2)のような問題が位置ベクトルを理解してるかを試すいい問題だと思います。もう1度Mをとって2:1に内分・・・と計算する必要がないのです。
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