群数列

上野竜生です。群数列の典型的な問題を取り扱います。とりあえずこの問題が理解できれば応用もできるでしょう。

問題

この問題の重要なポイントは
・項の値（この例題なら(1)の\(\frac{50}{100}\)）
・第n群のm項めか？
・数列全体の何項めか？
この3つを自由に行き来できるようにすることです。

(1)前半は簡単です。（というより自分で法則を見つけるだけです）
第n群のm項めの値は\( \frac{m}{n+1} \)で表されるので\( \frac{50}{100} \)は第99群の50項め。・・・(答)

後半は第99群の50項めは全体の何項めかを問う問題ですが「第1群から第98群までの項数の和　+50」で求められます。そこで第k群にいくつ項があるかを求め，それのk=1から98までの和を計算します。

第k群にはk個の項があるので第1群から第98群までの項数の和は
\( \displaystyle \sum_{k=1}^{98} k =\frac{1}{2} 98 \cdot 99 = 49 \cdot 99=4851 \)
よって第99群の50項めは4851+50=4901項め・・・（答）

(2)　第n群のm項め＝第n-1群までの項数の和+mで表されます。まずは一般に第n-1群までの項数の和を求めて第何群かを見つけましょう。それがわかればmは簡単に求まります。

第1群から第n群までの項数の和は
\( \displaystyle \sum_{k=1}^{n} k = \frac{1}{2} n (n+1) \)
n=19のとき190
n=20のとき210なので第200項は20群にある。
200-190=10より20群の10項めであり，その値は\(\displaystyle \frac{10}{21} \)

(3)　第n群の和を計算し
第1群から第19群までの和　＋　20群の初項から10項めまでの和
と言う風にわけて計算しましょう。

第n群の和は
\( \displaystyle \frac{\sum_{k=1}^n k}{n+1}=\frac{n}{2} \)である。
第1群から第19群までの和は
\( \displaystyle \sum_{n=1}^{19} \frac{n}{2}=\frac{1}{4} 19\cdot 20=95 \)
第20群の初項から10項めまでの和は
\(\displaystyle \frac{\sum_{k=1}^{10} k}{21}=\frac{55}{21} \)
よって\(\displaystyle 95+\frac{55}{21} = \frac{2050}{21} \)

読んでいてわかった気になっていてもいざ解くと群や項数が1つずれて計算してしまうものです。実際に手を動かして解く練習をしましょう。慣れないと頭がパニックになります（今回の例題でもn群の分母がn+1となっているので余計にややこしいかも・・・）