aPA+bPB+cPC=0を満たすPの位置（平面）｜数学の偏差値を上げて合格を目指す

当サイトは、PRを含む場合があります。

上野竜生です。平面ベクトルで$ a \vec{PA}+b\vec{PB}+c\vec{PC}=\vec{0} $を満たす点Pがどの位置にあるか調べます。コツは始点をAに統一することです。

$aPA+bPB+cPC=0を満たすPの位置(平面)$

問題

三角形ABCがある。$ a \vec{PA}+b\vec{PB}+c\vec{PC}=\vec{0} $を満たす点Pをとる。
(1)　Pはどの位置にあるか
(2)　△PBCの面積は△ABCの面積の何倍か

答え(1)始点をAにそろえる。
$ -a \vec{AP}+b(\vec{AB}-\vec{AP})+c(\vec{AC}-\vec{AP})=\vec{0} $
整理すると$ (a+b+c)\vec{AP}=b\vec{AB}+c\vec{AC} $
∴$\displaystyle \vec{AP}=\frac{b}{a+b+c}\vec{AB}+\frac{c}{a+b+c}\vec{AC}=\frac{b+c}{a+b+c} \left(\frac{b}{b+c}\vec{AB}+\frac{c}{b+c}\vec{AC} \right) $
よって辺BCをc:bに内分する点をDとするとPはADを(b+c):aに内分する点。
$位置ベクトル$
(2)$\displaystyle △BDP=\frac{a}{a+b+c}△ABD , △CDP=\frac{a}{a+b+c}△ACD $より
△PBC=△BDP+△CDP=$\displaystyle \frac{a}{a+b+c} $(△ABD+△ACD)=$\displaystyle \frac{a}{a+b+c} $△ABC
となり、答えは$\displaystyle \frac{a}{a+b+c} $倍。
<(2)の別解　こちらを推奨>
底辺をBCとみると底辺は共通なので面積比は高さの比と等しく、それはAD:PDに等しいから(a+b+c):a
よって答えは$\displaystyle \frac{a}{a+b+c} $倍。

同様に△PCAは$\displaystyle \frac{b}{a+b+c} $倍,△PABは$\displaystyle \frac{c}{a+b+c} $倍で
△PBC:△PCA:△PAB=a:b:cとなります。

解説を読んで数学がわかった「つもり」になりましたか？数学は読んでいるうちはわかったつもりになりますが演習をこなさないと実力になりません。そのためには問題集で問題を解く練習も必要です。オススメの参考書を厳選しました

<高校数学>