絶対値を含むΣ計算｜数学の偏差値を上げて合格を目指す

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上野竜生です。今回はΣ計算の中で絶対値を含んだものを紹介します。絶対値を外してからΣ計算をするという基本的なことはもちろんですが，少し応用的な内容も含んでいるので1度目を通しておきましょう。

例題

$\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{100} |x-n^2| $とする。
(1)f(10000)とf(5000)をそれぞれ求めよ。
(2)f(x)の最小値を求めよ。

答え(1)1≦n≦100のとき|10000-n²|=10000-n²なので

$\displaystyle f(10000)=\sum_{n=1}^{100} |10000-n^2|=\sum_{n=1}^{100} 10000-n^2 \\ \displaystyle =1000000-\frac{1}{6}100\cdot 101 \cdot 201=1000000-338350=661650$

1≦n≦70のとき|5000-n²|=5000-n²
71≦n≦100のとき|5000-n²|=n²-5000なので

$\displaystyle f(5000)=\sum_{n=1}^{70} (5000-n^2)+\sum_{n=71}^{100} (n^2-5000) \\ \displaystyle = 5000\cdot 70 - \frac{1}{6}70\cdot 71 \cdot 141 + (\frac{1}{6}100\cdot 101\cdot 201-\frac{1}{6}70 \cdot 71 \cdot 141)-5000\cdot 30 \\ =\displaystyle 5000\cdot 40 -\frac{1}{3}70 \cdot 71 \cdot 141 + \frac{1}{6}100 \cdot 101 \cdot 201 \\ = 200000-233590+338350 \\ =304760$

(2)f(x)は1次式である。傾きを求めると
x<1ではすべての絶対値の中身がマイナスになるのでxの係数は-100
1≦x≦4では1つだけ絶対値の中身が正で残りは負だからxの係数は-98
n²≦x≦(n+1)²では正がn個残りは負だからxの係数は2n-100（1≦n≦99)
x≧10000ではxの係数が100である。
これをまとめると
x≦2500では単調減少,2500≦x≦2601では傾きが0,x≧2601では単調増加であるから最小値は2500≦x≦2601のときの値である。
この時の値は

$\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{50} (x-n^2) + \sum_{n=51}^{100} (n^2 -x) \\ = \displaystyle -\frac{1}{6}50 \cdot51 \cdot 101 + (\frac{1}{6}100\cdot 101 \cdot 201-\frac{1}{6}50 \cdot 51 \cdot 101) \\ =\displaystyle \frac{1}{6}100\cdot 101\cdot 201-\frac{1}{3}50 \cdot 51\cdot 101 = 338350- 85850 = 252500 $

最小値は少し直感に反していたかもしれません。実際に入試で出たこともあるので注意してみましょう。出題頻度がそれほど高いわけではありません。

解説を読んで数学がわかった「つもり」になりましたか？数学は読んでいるうちはわかったつもりになりますが演習をこなさないと実力になりません。そのためには問題集で問題を解く練習も必要です。オススメの参考書を厳選しました

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