素数の性質・素数を利用した基本問題
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上野竜生です。入試問題で「素数」という条件がよく出ます。素数の性質はたくさんあるのでどれを使うのか難しいですが，今回は性質をまとめてみました。役立ててください。 素数の性質 ・1とその数自身以外に正の約数をもたない整数を […]
2次試験対策
恒等式や不等式の証明方法の基本
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上野竜生です。恒等式や不等式の証明方法について書いていきます。 恒等式とは xなどの変数にどんな値をいれても等号が成立するものを恒等式といいます。 例：(x+1)2=x2+2x+1 , sin(x+y)=sinx cos […]
二次曲線の図形の名称を判別する方法
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上野竜生です。今回は一般の形であらわされた二次曲線 ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0 が円なのか楕円なのか双曲線なのか放物線なのかを判定する方法を紹介します。 ただ頑張って計算するだけなので試験で証明を問われる […]
√(1+sinx)dx系の積分4パターン
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上野竜生です。√(1+sinx)dx系の積分を4つ(\(\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1+\sin{x}}dx , \int_0^{\frac{\pi}{2}} \ […]
線形計画法に関連する大学入試問題の解き方
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上野竜生です。線形計画法に関連する入試問題をよく見ます。大学で学ぶことの基礎ということもあり入試頻出です。解き方を学んでおきましょう。 線形計画法例題 部品Aと部品Bを使った製品X,Yがある。製品X,Yに部 […]
3次関数の極大値と極小値の和や差に関する問題
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上野竜生です。3次関数の極大値と極小値の和(または差)だけが与えられて定数aの値を求める問題の解法を紹介します。通常の解法だけ理解すればいいですが頭のいい解法も紹介します。 極大値と極小値の和がわかっているとき 3次関数 […]
積分の難問は誘導を利用せよ！
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上野竜生です。積分は非常に奥が深くノーヒントで試験時間中に解くのは難しいものもあります。しかしそういう場合はたいてい(1)などでヒントが与えられています。今回は(1)などのヒントを使って(2)の難問積分を解く方法を紹介し […]
n!はmで何回割り切れるか問題
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上野竜生です。○！は△で何回割り切れるか？というタイプの問題を解説します。 パターン１ 基本（mが素数の場合） 100!は2で何回割り切れるか？ 答え1から100までの中に 2で割り切れるものは50個ある。（この時点で5 […]
空間の2直線の最短距離
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上野竜生です。ねじれの位置にある空間上の2直線上にそれぞれ点P,QをとったときのPQの最小を考えましょう。 裏技 共通接線 2直線l,l'はねじれの位置にあるとする。l上に点P,l'上に点QをとるときPQの最小値を求めた […]
3次方程式の解の個数問題
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上野竜生です。3次方程式の解の個数に関する問題の解法を紹介します。 基本的なこと 実数係数3次方程式の相異なる実数解は最低1つ。最大3つあり，2つになるのは重解になる特殊ケースのみ。 つまり 実数解が1つ ・・・ 「実数 […]
○○から接線は何本引けるか？
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上野竜生です。○○から接線が何本引けるか，という問題は頻出ですが初見では難しいです。頻出のパターンと，ひっかけ問題も含めて解説します。 典型問題 (X,Y)から\( y=x^3-3x \)に3本の接線がひけ […]
2直線のなす角を求める問題の解き方
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上野竜生です。2直線のなす角を求める問題はほぼ１パターンで解けます。 復習１： 傾き＝tanθ 直線y=mx+nがx軸となす角をθとします。この直線の傾きとはxが1増えたときのyの増加量のことでy=mx+nとおいたときの […]
図形が通過する領域の求め方
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上野竜生です。tやaを動かしたとき直線や曲線が通過する領域の図示の仕方を紹介します。 アイデア y=(tを含んだxの式)がある。tを実数全体で動かしたとき通過する領域を求めたい → tについて整理する。つまりtが変数，x […]
頻出！(x+y,xy)の動く領域
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上野竜生です。今回は有名問題を紹介します。一見簡単ですが落とし穴があり，入試頻出問題で一般的な参考書でも紹介されている問題です。 実数x,yがx2+y2≦1を満たしながら動くとき、(x+y,xy)の動く領域を図示せよ。 […]