2021早稲田理工大問2(良問) ｜数学の偏差値を上げて合格を目指す

当サイトは、PRを含む場合があります。

上野竜生です。入試問題の中で良問だったものを紹介します。

[2021早稲田理工大問2]
整式\( f(x)=x^4-x^2+1 \)について，以下の問に答えよ。
(1) \(x^6\)をf(x)で割ったときの余りを求めよ。
(2) \(x^{2021}\)をf(x)で割ったときの余りを求めよ。
(3)自然数nが3の倍数であるとき，\( (x^2-1)^n-1\)がf(x)で割り切れることを示せ。

(1)実際に筆算を実行することにより
\( x^6=(x^2+1)(x^4-x^2+1)-1 \)
となるから余りは-1。

ここで(2)と(3)の方針が立ちます。

x⁶≡-1　( mod f(x))
x²⁰¹⁶≡(x⁶)³³⁶≡(-1)³³⁶≡1 (mod f(x))
x²⁰²¹≡x²⁰¹⁶・x⁵≡x⁵ (mod f(x))

という風な考え方をできればあとはそれを式で表現するだけです。合同式はmod nなど整数で割った余りのときによく使いますが今回は式で割った余りです。証明なしで合同式の表現をしていいかどうかは微妙です。採点方法によって減点されるのが怖いので頭の中では合同式でも，答案ではこれを式で証明していきましょう。
(3)では(x²-1)^3kをf(x)で割った余りが1であることを示せばいいですね。(2)と同様で
(x²-1)³≡1(mod f(x))にならないか考えてみましょう。

答え(2)(1)より
\( x^6=Q(x)f(x)-1 \)
よって
\( x^{2016}=(x^6)^{336}=(Q(x)f(x)-1)^{336} \\ = {}_{336}C_{0} (Q(x)f(x))^{336} (-1)^0+{}_{336}C_{1} (Q(x)f(x))^{335} (-1)^1+\cdots +{}_{336}C_{335} (Q(x)f(x))^1 (-1)^{335}+{}_{336}C_{336} (Q(x)f(x))^0 (-1)^{336} \)
最後の項以外はf(x)で割り切れるので
\( x^{2016}=R(x)f(x)+1 \)とかける。
よって
\( x^{2021}=x^5 \cdot x^{2016}=x^5 R(x)f(x)+x^5 \\ = x^5 R(x)f(x) + x(x^4-x^2+1) + x^3-x \\ = (x^5 R(x)+x)f(x) +(x^3-x ) \)
となるから余りは\( x^3-x \)
(3)
\( (x^2-1)^3=x^6-3x^4+3x^2-1=(x^2-2)f(x)+1 \)
なので\( S(x)=x^2-2 \)とおいて(2)と同様に二項定理を使うと
\( (x^2-1)^{3k}=( S(x)f(x)+1 )^k= T(x)f(x)+1 \)
とかける。よって\( (x^2-1)^{3k}-1 \)はf(x)で割り切れる。

あるいは\( x^4-x^2+1=0\)の解を\( \alpha \)とおいて因数定理の形に持ち込むこともできます。

答え\( x^4-x^2+1=0\)の任意の解を\( \alpha \)とすると
\( \alpha^4=\alpha^2-1 \)・・・①
\( \alpha^6=-1 \)・・・②（(1)より)
が成り立つ。
\( x^{2021}\)をf(x)で割った余りを\( ax^3+bx^2+cx+d \)とおくと
\( x^{2021}-ax^3-bx^2-cx-d \)はf(x)で割り切れる。よって
\(g(x)=x^{2021}-ax^3-bx^2-cx-d \)とおくと\( g(\alpha)=0 \)
②より\( \alpha^{2021}=(\alpha^6)^{336}\alpha^5=\alpha^5 \)
①より\( \alpha^5= \alpha(\alpha^4)=\alpha^3-\alpha \)
となるからa=1,b=0,c=-1,d=0
よって余りは\( x^3-x \)
(3)
\( (\alpha^2-1)^{3k} = (\alpha^4)^{3k}=(\alpha^{12})^k = 1^k \)より
\( (\alpha^2-1)^{3k}-1=0 \)
これが\( \alpha^4-\alpha^2+1=0 \)を満たす任意の\(\alpha \)で成り立つから
題意は成立。

整数に使うような合同式の考え方を多項式でも使うというのがポイントですね。

解説を読んで数学がわかった「つもり」になりましたか？数学は読んでいるうちはわかったつもりになりますが演習をこなさないと実力になりません。そのためには問題集で問題を解く練習も必要です。オススメの参考書を厳選しました

<高校数学>