上野竜生です。今回は千葉大学の良問を扱います。

問題

[2021 千葉大 大問4]
mを正の整数とする。座標平面上の点(x,y)で
\( xn^3+yn^2 (n=1,2,3,\cdots ) \)
がすべて整数であるようなものは,連立不等式
\( x\geq 0 , y\geq 0 , x+y \leq m \)
の表す領域に何個あるか答えよ。

受験生の頭の中

問題を読んだ時点(つまりまだ解けていない時点)で

POINTまずは(x,y)がどのような場合かを調べる。明らかにx,yが整数の時は条件を満たす。これ以外のx,yがないかどうかを探す
→問題の領域を図示する
→数を数える。明らかにx,yが整数の時はΣ計算で求めることになるのでおそらく数列のΣ計算に帰着させる

という流れは見えると思います。
最初の(x,y)がどのような場合かはなんか難しそうなので,そこで脱落する人がいるかもしれないけど,そのあとの領域図示は簡単にできる!まずはそこだけでもアピールして部分点を狙おう…

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最低でもここまでは書こう

答え(※最終結果は誤答です)問題の領域を図示すると下の図の通り。ただし境界を含む。
千葉大の領域

明らかに(x,y)がともに整数のときは条件を満たす
これが与えられた領域にいくつあるかを数える。
x=0のときやy=0のときも条件を満たすことに注意すると
x=0のときyは0,1,2,・・・,mまでのm+1個。
x=1のときyは0,1,2,・・・,m-1までのm個。
・・・
x=kのときyは0,1,2,・・・,m-kまでのm-k+1個。(k=0,・・・,n)
x=nのときはy=0の1個。これらを足すと
\( (m+1)+m+・・・+2+1 \\ \displaystyle = \sum_{k=1}^{m+1} k = \frac{1}{2}(m+1)(m+2) \)
よって(x,y)がともに整数のときの個数は\( \frac{1}{2}(m+1)(m+2) \)個
以上より求める個数は\( \frac{1}{2}(m+1)(m+2) \)

最終結果は誤答ですが部分点をもらえやすい答案になっていると思います。ポイントは次の通りです

POINT① (x,y)の組は自信がないけど領域図示は自信があるのなら先に領域図示する。先に誤った内容を見せてしまうと以下の内容を評価してもらえない場合もあったりするので誤ってるかもしれない内容はできるだけ後ろに書きたい。
② Σ計算の形を見せることで「・・・」を解消した表現ができることをアピールする
③ (x,y)の組があってなくても少なくとも(x,y)がともに整数のときの個数は数えられる。部分点をつけやすいようにその部分を切り取って正確な表現をしたい。
今回なら最後から2行目の1文が非常に重要です。なぜなら最後から2行目の1文は受験生にとって必ず正しいといえる文だからです。最後の1行は受験生にとって正しいとは限らない(実際には誤り)文なので,部分点を与える先生も間違った内容には部分点をくれない可能性があります。下から2行目は正しい文なので,これを書けば部分点を与える先生も迷わず加点してくれるでしょう。

それでは答えがわからない場合の答案の書き方はここまでにして,正解を考えてみましょう。

正答例を考える

考察1 (x,y)を求める部分

n=1のとき整数だからx+yは整数・・・①
n=2のとき整数だから8x+4yは整数・・・②
n=3のとき整数だから27x+9yは整数・・・③
②-①×4から4xも整数・・・④
③-①×9から18xも整数・・・⑤
④より\( x=\frac{△}{4} \)の形でかけるけど⑤より△が奇数なら不適で△は偶数。つまり\( x=\frac{□}{2} \)のときもいけそう。
□が偶数の時xは整数でこのとき①からyも整数。
□が奇数の時xは○○.5の形でこのとき①からyも△△.5の形。
(x,y)=(整数,整数),(○○.5 , △△.5)の形でかけるときが条件をみたす。

本当に十分か確かめましょう。
\(\displaystyle x=s-\frac{1}{2} , y=t-\frac{1}{2} \)とおく。(s,tは整数)
\( \displaystyle xn^3+yn^2 = sn^3+tn^2 – \frac{1}{2}n^3-\frac{1}{2}n^2 \\ = \displaystyle sn^3+tn^2 – \frac{n^2 (n+1)}{2} \)
n(n+1)は連続2整数の積だから偶数であり第3項も整数。よってすべてのnに対し整数となる。

考察2 (x,y)を求める部分

n=1のときx+yが整数
よってx=0.123,y=0.456のような可能性は消えてyの小数部分が0.456ならxの小数部分は0.544でしかありえない。これは最初に比べて絞り込めているのでこれを式で表現しよう
x+y=k(kは整数)とおくと
\( xn^3+ yn^2= xn^3+ (k-x)n^2 = x(n^3-n^2)+kn^2 \)が整数
kは整数だから第2項は明らかに整数であり,第1項が整数になるかを調べる
\( x(n^3-n^2)=xn^2 (n-1) \)なので\( n^2(n-1)\)を調べる。
n(n-1)は連続2整数の積だから2の倍数。
n=2のとき\( n^2(n-1)=4 \)
n=3のとき\( n^2(n-1)=18 \)
だから\( n^2(n-1)\)は2の倍数である。よって2xは整数。(以下考察1と同様)

この結果から条件を満たす(x,y)がわかりました。

個数をカウントする部分

(x,y)=(整数,整数)のときは上の答案例と同様にして\( \frac{1}{2}(m+1)(m+2) \)個。
(x,y)=(○○.5,△△.5)のとき
\( x=\frac{1}{2} \)のとき\( y=\frac{1}{2},\frac{3}{2}, \cdots , \frac{2m-1}{2} \)のm個。
\( x=\frac{3}{2} \)のとき\( y=\frac{1}{2} , \frac{3}{2} , \cdots , \frac{2m-3}{2} \)の(m-1)個。
・・・
\( x=\frac{2m-1}{2}\)のとき\( y=\frac{1}{2} \)の1個。
以上より
\( m+(m-1)+・・・+1 \\ \displaystyle \sum_{k=1}^m k = \frac{1}{2}m(m+1) \)
(x,y)=(○○.5,△△.5)のときの個数は\( \frac{1}{2}m(m+1) \)個。
以上より求める個数は
\( \displaystyle \frac{1}{2}(m+1)(m+2)+\frac{1}{2}m(m+1) \\ = (m+1)^2 \)

 

いかがでしたか?完答するのはなかなか難しいのですがそれなりに部分点はとりやすい問題だと思います。答えがわからない中でどうやったら1点でも多くとれるかを考えてアピールすることの重要性がわかる良問だと思います。

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