メルカトル級数とライプニッツ級数
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上野竜生です。自然数の逆数を足したり引いたりするとlog2に近づき、奇数の逆数を足したり引いたりすると\(\frac{\pi}{4} \)に近づくという面白い性質があります。それを証明します。 それと同時に高校生が間違い […]
数III 積分の応用
eが無理数であることの証明
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上野竜生です。eが無理数であることの証明をしてみます。難関大入試ではたまに見ます。 \(\displaystyle a_n= \int_0^1 x^n e^{1-x}dx \)とおく。 \(\displaystyle \ […]
体積の求め方（回転体ではない立体を積分で）
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上野竜生です。立体の体積の求め方ですが球のように公式があるものはそれで求めればいいです。また回転体は回転体の公式通りやればいいのでそれほど難しくありません。ここでは回転体でない立体の体積を積分で計算する方法を紹介します。 […]
3つの直交する円柱の共通部分の体積
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上野竜生です。今回は3つの直交する円柱の共通部分の体積を紹介します。2つのときとほぼ同様ですが計算が大変になることと，それをうまく回避する技も紹介します。もちろん大変な計算も省略せず1つ1つ丁寧に式変形して書いていきます […]
回転体の体積の求め方-一般論-
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上野竜生です。回転体の体積を求める一般論を紹介します。 超基本：y=f(x)とx=α,x=β,x軸で囲まれた部分をx軸中心に1回転 体積\(\displaystyle V=\int_{\alpha}^{\beta} \p […]
パップス・ギュルダンの定理（回転体の体積の裏技）
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上野竜生です。回転体の体積を求める方法の裏技，パップスギュルダンの定理を紹介します。検算に使う程度にし，できる限り記述の試験では使わないようにします。 パップスギュルダンの定理 回転体の体積＝回転させる面積 […]
回転軸が傾いている回転体の体積
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上野竜生です。今回は回転軸がx軸やy軸ではなく，傾いている場合の回転体の体積を計算します。 例題 f(x)=3x2,g(x)=3xとする。 (1) y=f(x)とy=g(x)で囲まれた部分をy=3xを軸に1回転させてでき […]
直線・平面図形の回転体の体積の求め方
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上野竜生です。直線や平面図形を回転させたときの体積の求め方を紹介します。 ちなみに平面図形の回転といってもy=f(x)上の平面図形をx軸やy軸に回転させる（＝つまり一度折り返してから積分するタイプ）のものではなく軸から離 […]
立方体を対角線まわりに1回転させてできる回転体の体積
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上野竜生です。入試問題の中ではかなりの難問とされる立方体の回転体の問題を解説します。難関大学受験者以外は理解できなくても十分でしょう。 今回考える問題 1辺がaの立方体を対角線を軸に1回転させてできる回転体の体積を求めよ […]