単純な置換積分ならわざわざ置換する必要なし
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上野竜生です。ある程度置換積分に慣れてきた人にとってわざわざ何をtとおくか明記して・・・というのは面倒ですね。ある程度単純なものは置換するまでもない積分があります。実際に見てみましょう。 例題１ 不定積分 次の不定積分 […]
Month: 2018年7月
グラムシュミットの直交化法
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上野竜生です。n本のベクトルが与えられたときそれらを正規直交化する方法（グラムシュミットの直交化法）を解説します。 正規直交化の方法 n本のベクトルでもできますが，計算量の都合でテストやレポートには普通n=3のときしかで […]
チェビシェフの多項式（cosのn倍角の公式）
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上野竜生です。cosのn倍角の公式を紹介します。 cosのn倍角の公式 始めのうち(n=3まで)は教科書で習いますし，n=4,5ぐらいなら現実的な時間で導けると思います。結果だけ示します。 cosθ=cosθ cos2θ […]
関数方程式(基本の4パターン)
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上野竜生です。基本的な関数方程式とその解法を紹介します。 まずは結果を覚えよう！ 基本パターンについては結果を覚えて逆算的に解くほうが楽です。なお，すべての問題で連続性や微分可能性は満たすと仮定します。 ・f(x+y)= […]
今週の問題 問26 答え
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上野竜生です。問26の答えを発表します。 問26 次の空欄を埋めてください。センター試験のようにカタカナ1文字に数字1つが入ります。 円周上に点A,X,B,C,Dがこの順で反時計回りにある。 弦ACと弦BDは垂直に交わり […]
円の極と極線(円外の点から引いた2つの接線の接点を通る直線)
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上野竜生です。円の極と極線に関する面白い性質を紹介します。考え方も独特なので是非目を通すことをオススメします。 ＜復習＞円の接線の公式 円x2+y2=r2の円周上の点(p,q)からひいた接線の方程式はpx+qy=r2 今 […]
定積分を含む関数漸化式
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上野竜生です。定積分を含む関数漸化式の解き方を紹介します。今回は例題１つだけなので解説することは少な目です。 例題 関数列fn(x)はすべてxの1次関数で次の漸化式を満たす。fn(x)を求めよ […]
今週の問題 問25 答え
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上野竜生です。問25の答えを発表します。 問25 \( \displaystyle f(x)=\frac{1}{x-1} , g(x)=\frac{1}{x-2} \)とおく。 (1) \( f^{(n)}(0) \)を […]
高次式の値は割り算をして次数を下げよ！
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上野竜生です。√を含む複雑な式の代入は地道に計算する必要がありません。割り算の余りを使った解法がありますので紹介します。 例題１ \( \alpha=\frac{1+\sqrt{5}}{2} \)のとき，\ […]
パップス・ギュルダンの定理（回転体の体積の裏技）
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上野竜生です。回転体の体積を求める方法の裏技，パップスギュルダンの定理を紹介します。検算に使う程度にし，できる限り記述の試験では使わないようにします。 パップスギュルダンの定理 回転体の体積＝回転させる面積 […]
∫1/sinx dxや∫1/cosx dxの計算
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上野竜生です。\(\int \frac{1}{\sin{x}}dx , \int \frac{1}{\cos{x}}dx \)の計算は今まで通り計算できますがこの2つを2パターンで解いてみたいと思います。 \( \dis […]
∫1/(1+cosx)dx , ∫1/(1+sinx)dxなどの計算
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上野竜生です。今回は \( \int \frac{1}{1+\cos{x}}dx , \int \frac{1}{1-\cos{x}}dx , \int \frac{1}{1+\sin{x}}dx , \int \fra […]
立方体を対角線まわりに1回転させてできる回転体の体積
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上野竜生です。入試問題の中ではかなりの難問とされる立方体の回転体の問題を解説します。難関大学受験者以外は理解できなくても十分でしょう。 今回考える問題 1辺がaの立方体を対角線を軸に1回転させてできる回転体の体積を求めよ […]